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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 3

Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora.

  1. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6
  2. A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0
  3. A = 4 - 2 1 5 5 3

Passo 1

Show de bola galera, de acordo com o Teorema 8.2.1, “se T : V → W for uma transformação linear, as afirmações seguintes são equivalentes”

  1. T é injetora
  2. N u c T = { 0 }

Então se descobrirmos o núcleo da transformação e n u l T = 0 , nossa transformação é injetora.

Passo 2

Na letra (a) temos A 3 × 2 , uma matriz que representa uma transformação T : R 2 → R 3

A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6

E aqui podemos calcular a dimensão da imagem de A e aplicar no Teorema 8.1.4 da dimensão para transformações lineares. A gente sabe que a coluna 2 é - 2 vezes a coluna 1, logo temos apenas 1 coluna linearmente independente, isto quer dizer que p o s A = 1 , portanto

p o s A + n u l A = n ⇒ 1 + n u l A = 2

n u l A = 1

Como n u l A ≠ 0 , a matriz não é injetora.

Passo 3

Na letra (b) temos A 3 × 4 , uma matriz que representa uma transformação T : R 4 → R 3

A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0

E escalonando a matriz, temos

1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - 2 L 1 L 3 = L 3 + L 1 = 1 3 5 7 0 - 7 - 2 - 10 0 3 5 7

Logo a gente pode reparar que temos 3 colunas linearmente independentes, isso quer dizer que p o s A = 3 , portanto

p o s A + n u l A = n ⇒ 3 + n u l A = 4

n u l A = 1

Então a transformação não é injetora.

Passo 4

Na letra (c), temos algo parecido com a letra (a), mas dessa a matriz possui duas colunas linearmente independentes

A = 4 - 2 1 5 5 3

Logo, p o s A = 2 e

p o s A + n u l A = n ⇒ 2 + n u l A = 2

n u l A = 0

Portanto, a transformação é injetora.

Resposta

  1. A não é injetora.
  2. A não é injetora.
  3. A   é   i n j e t o r a
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Seja V = R 2 . Fazer um gráfico de um vetor genérico v = ( x ,y ) do domínio e de sua imagem T ( v ) sob a transformação linear T :R 2 → R 2 dada por: T x , y = ( 3 x ,- 2 y )
Dentre as transformações T :R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. T x , y = ( 3 y ,- 2 x )
Dentre as transformações T :R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. T x , y = ( x 2 ,y 2 )
Seja V = R 2 . Fazer um gráfico de um vetor genérico v = ( x ,y ) do domínio e de sua imagem T ( v ) sob a transformação linear T :R 2 → R 2 dada por: T x , y = ( 2 x ,0 )
Dada a transformação linear T : V → W , tal que T u = 3 u e T v = u - v , calcular em função de u e v :a) T ( u + v ) b) T ( 3 v ) c) T ( 4 u - 5 v )