Dentre as transformações T :   R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.

T x , y = ( x 2 ,   y 2 )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que T x , y = ( x 2 ,   y 2 ) . Aqui é fácil ver que a transformação não é linear pois envolve quadrados.

Passo 2

Um jeito bem simples de ver que não é linear é testar a segunda propriedade com u = ( a , b ) :

T λ u = T λ a , b = T λ a ,   λ b = ( λ 2 a 2 , λ 2 b 2 )

Assim,

T λ u = λ 2 a 2 , b 2 = λ 2 T ( u )

Note que o fator que sai da transformação é λ 2 , e não λ como deveria ser. Como a propriedade não é satisfeita, podemos afirmar que T não é linear!

Resposta

Não

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