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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 6

Seja a aplicação T :   R 2 → R 3

x , y → ( x + k y ,   x + k ,   y )

Verificar em que caso(s) T é linear:

a) k = x

b) k = 1

c) k = 0

Passo 1

Este problema fornece uma transformação T e pede para dizermos se ela é linear para diferentes valores de k .

Aqui você precisa lembrar que T é linear se e somente se

T u + v = T u + T v                 e                 T λ u = λ T ( u )

Além disso, um teste que você fazer é se T 0 ,   0 = ( 0 ,   0 ,   0 ) . Caso não seja, sabemos que T não é linear. Cuidado: se T ( 0 ,   0 ) for ( 0 ,   0 ,   0 ) você não pode afirmar que T é linear, essa verificação só serve para se T não for linear!

No item (a) temos k = x , de modo que

T x ,   y = ( x + x y ,   2 x ,   y )

Note que o termo x y na primeira coordenada é de segundo grau: T não será linear! De fato, se fizermos

T λ a ,   λ b = λ a + λ 2 a b ,   2 λ a ,   λ b ≠ λ   ( a + a b ,   2 a ,   b )

Vemos que T não é linear nesse caso.

Passo 2

Para k = 1 , temos que

T x , y = ( x + y ,   x + 1 ,   y )

Note que T 0 ,   0 = 0 ,   1 ,   0 ≠ ( 0 ,   0 ,   0 ) . Portanto já podemos afirmar que T não é linear para k = 1 .

Passo 3

Por fim, para k = 0 , temos

T x ,   y = ( x ,   x ,   y )

Essa transformação é linear!!! Para provar isso, sejam u = ( a ,   b ) e v = ( c ,   d ) :

T u + v = T a + c ,   b + d = ( a + c ,   a + c ,   b + d )

Assim,

T u + v = a ,   a ,   b + c ,   c ,   d = T u + T ( v )

Analogamente,

T λ u = T λ a ,   λ b = ( λ a ,   λ a ,   λ b )

Logo,

T λ u = λ   a ,   a ,   b = λ T ( u )

Como as duas propriedades são satisfeitas, vemos que T é de fato linear nesse caso!

Resposta

Apenas no item (c) T é linear.

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