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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 14

São apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:

a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?

b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?

T :   R 2 → R 2 ,     T x , y = ( 3 x - y ,   - 3 x + y )

Passo 1

O problema fornece para nós uma transformação linear. Temos que determinar o núcleo e a imagem dessa transformação.

Para achar o núcleo, temos que lembrar que x , y ∈ N ( T ) se T x , y = ( 0 ,   0 ) :

3 x - y ,   - 3 x + y = ( 0 ,   0 )

Assim,

3 x - y = 0 - 3 x + y = 0

Resolvendo essa sistema, obtemos

y = 3 x

Assim,

x , y = x ,   3 x = x   ( 1 ,   3 )

Portanto, o núcleo é gerado pelo vetor ( 1 ,   3 )

N T = t   1 ,   3     t ∈ R }

Uma base para o núcleo é

B = { 1 ,   3 }

Como a base tem um único vetor,

dim ⁡ N ( T ) = 1

Por fim, como o núcleo não é vazio, T não é injetora!

Passo 2

Agora vamos estudar a imagem de T :

T x , y = 3 x - y ,   - 3 x + y = x   3 ,   - 3 + y   ( - 1 ,   1 )

Assim, a imagem é gerada pelo conjunto

A = - 1 ,   1 ,   3 ,   - 3

Como ( 3 ,   - 3 ) é múltiplo de ( - 1 ,   1 ) , A é LD. Descartando um dos vetores, obtemos uma base para a imagem:

B = { - 1 ,   1 }

Assim, a imagem é dada por

I m T = t   - 1 ,   1     t ∈ R }

Portanto, a dimensão da imagem será 1 ! Como dim ⁡ I m ( T ) ≠ dim ⁡ R 2 , T não é sobrejetora.

Olha que legal, o teorema da dimensão é satisfeito:

dim ⁡ N ( T ) + dim ⁡ I m ( T ) = 1 + 1 = 2 = dim ⁡ R 2

Resposta

N T = t   1 ,   3     t ∈ R }

B = { 1 ,   3 }

dim ⁡ N ( T ) = 1

I m T = t   - 1 ,   1     t ∈ R }

B = { - 1 ,   1 }

dim ⁡ I m ( T ) = 1

Não é injetora nem sobrejetora

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