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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 13

Seja o operador linear

T :   R 2 → R 2 ,     T x , y = ( 2 x + y ,   4 x + 2 y )

Quais dos seguintes vetores pertencem a I m ( T ) ?

a) ( 2 ,   4 )

b) ( - 1 2 ,   - 1 )

c) ( - 1 ,   3 )

Passo 1

A questão fornece uma transformação linear e pede para verificar se os vetores dados pertencem imagem dessa transformação.

Para que um vetor v   pertença a imagem de T , temos que encontra um vetor ( a , b ) no domínio de T tal que

v = T ( a , b )

Se pudermos encontrar esse vetor, v está na imagem de T . Se não for possível, v não estará na imagem de T !!!

Consideremos v = ( 2 ,   4 ) . Vamos testar se ele está ou não na imagem de T :

2 ,   4 = ( 2 a + b ,   4 a + 2 b ) ⇒ 2 a + b = 2 4 a + 2 b = 4

Note que a segunda equação é a primeira multiplicada por 2 . Esse sistema admite infinitas soluções do tipo

b = 2 - 2 a

Portanto, existe ( a , b ) tal que T a , b = ( 2 ,   4 ) . Portanto, 2 ,   4 ∈ I m ( T ) .

Note que

- 1 2 , - 1 = - 1 4 2 ,   4

Como ( 2 ,   4 ∈   I m ( T ) e - 1 2 , - 1 é um múltiplo dele, - 1 2 ,   - 1 também estará na imagem de T !

Passo 2

Por fim, para v = ( - 1 ,   3 ) , temos que

2 a + b = - 1 4 a + 2 b = 3

Multiplicando a primeira equação por 2 :

4 a + 2 b = - 2 4 a + 2 b = 3

Esse sistema é claramente impossível: não admite solução! Portanto, não existe ( a , b ) tal que T a , b = ( - 1 ,   3 ) . Assim, esse vetor não pertence a imagem de T .

Resposta

Os vetores dos itens (a) e (b) pertencem a imagem.

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Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0
Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 3 → R 3 , T x , y , z = ( x + y , x - y , 0 )
a) Determinar a transformação linear T :R 3 → R 2 tal que T 1 ,- 1 ,0 = ( 1 ,1 ) , T 0 ,1 ,1 = ( 2 ,2 ) e T 0 ,0 ,1 = ( 3 ,3 ) .b) Achar T ( 1 ,0 ,0 ) e T ( 0 ,1 ,0 ) .
São apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e
Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 2 → R 4 , T x , y = ( y ,x ,y ,x )