Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 8.Exercício - Ex. 7

Sejam uma base e . Mostre que é base e calcule a tripla de coordenadas do vetor na base .

Passo 1

O exercício fornece a base e quer que provemos que é uma base. Para isso, construímos a matriz de mudança de base e verificamos se ela é invertível! Escritos na base , temos que

Para construir a matriz , basta pegar os vetors , e e colocar nas colunas da matriz:

Calculando o determinante:

Assim, a matriz é invertível e é uma base!

Passo 2

Agora queremos escrever o vetor na base . Sabemos que

Nesse caso, temos que , e queremos achar . Assim,

Uma forma de resolver esse problema é achar a inversa de e multiplicar os dois lados da equação por ela. Mas calcular inversa é um saco, eu pelo menos odeio, então prefiro usar o bom e velho sistema!

Passo 3

Multiplicando as matrizes, obtemos

Das últimas equações já tiramos:

Substituindo na primeira:

Logo,

Portanto,

Resposta

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