Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 8.Exercício - Ex. 10
Sejam , e três bases. Verifique se são verdadeiras ou falsas a afirmações seguintes e justifique sua respostas.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Bom, essa é uma questão mais chatinha de demonstração, então se você não é muito hardcore nisso, não precisa se preocupar muito que isso geralmente não cai nas provas de engenharia. Mas se mesmo assim você quer saber como faz, acompanha a resolução!
Vamos comerçar pelo item (a). A afirmativa que queremos verificar se é verdadeira ou falsa é .
Vamos com calma aqui, a primeira coisa a se fazer é escrever a matriz:
Agora vamos olhar só para , as colunas dessa matriz são os vetores da base escritos em termos da base :
Analogamente, podemos fazer a mesma construção com , que tem os mesmos coeficientes:
Portanto, vemos que , e . Portanto, . Assim, se a matriz for igual a matriz , temos que . A afirmação (a) é VERDADEIRA!
Passo 2
No item (b) temos a afirmativa . A demonstração dessa é bem simples:
Mas sabemos que e . Assim, temos que
Note que agora temos exatamente o que tínhamos no item (a) trocando por . Assim, como vimos que o item (a) é verdadeira, segue que . A afirmação (b) também é VERDADEIRA!
Passo 3
No item (c) queremos ver se . Para provar essa você precisa de uma sacadinha:
Isso é válido pois a matriz identidade é a matriz de transformação de uma base para ela mesma. Assim, temos que
Usando a propriedade do item (a) trocando por :
Assim, a afirmativa (c) é VERDADEIRA!
Passo 4
No item (d) temos . Se , temos que
Assim, tomando os determinantes:
Logo,
Assim, a única condição que tiramos é que o determinante da matriz deve ser , mas não precisamos necessariamente que seja igual a . É possível construir uma matriz com determinante com , por exemplo:
Nesse caso, . Portanto, a afirmativa (d) é FALSA!