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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 8.Exercício - Ex. 12

Sejam E = ( e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 ) , F = ( f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 ) e G = g → 1 ,   g → 2 ,   g → 3 bases tais que

2 e → 1 = 3   f → 1 - f → 3                                                         g → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3

2 e → 2 = f → 1 + 3   f → 3                                                     g → 2 = e → 1 + e → 2

e → 3 = f → 2                                                                           g → 3 = e → 1

Escreva todas as matrizes de mudança de base envolvendo E , F e G .

Passo 1

O exercício fornece três bases e pede para acharmos as matrizes de mudança de base entre elas. Como os vetores de G estão escritos em termos dos vetores de E , temos que

g → 1 = 1 ,   1 ,   1 E

g → 2 = 1 ,   1 ,   0 E

g → 3 = 1 ,   0 ,   0 E

Assim, a matriz M E G é

M E G = 1 1 1 1 1 0 1 0 0

Invertendo essa matriz:

M G E = 0 0 1 0 1 - 1 1 - 1 0

Passo 2

Podemos escrever também os vetores de E na base F :

e → 1 = 3 2 ,   0 ,   - 1 2 F

e → 2 = 1 2 , 0 , 3 2 F

e → 3 = ( 0 ,   1 ,   0 )

Assim, a matriz M F E será

M F E = 3 2 1 2 0 0 0 1 - 1 2 3 2 0

Invertendo essa matriz:

M E F = 3 2 0 - 1 2 1 2 0 3 2 0 1 0

Passo 3

Por fim, basta lembrar que

M F G = M F E ⋅ M E G = 3 2 1 2 0 0 0 1 - 1 2 3 2 0 ⋅ 1 1 1 1 1 0 1 0 0 = 1 2 3 + 1 1 2 3 + 1 3 2 1 0 0 1 2 3 - 1 1 2 3 - 1 - 1 2

M G F = M G E ⋅ M E F = 0 0 1 0 1 - 1 1 - 1 0 ⋅ 3 2 0 - 1 2 1 2 0 3 2 0 1 0 = 0 1 0 1 2 - 1 3 2 1 2 3 - 1 0 - 1 2 3 + 1

Resposta

M E G = 1 1 1 1 1 0 1 0 0

M G E = 0 0 1 0 1 - 1 1 - 1 0

M F E = 3 2 1 2 0 0 0 1 - 1 2 3 2 0

M E F = 3 2 0 - 1 2 1 2 0 3 2 0 1 0

M F G = 1 2 3 + 1 1 2 3 + 1 3 2 1 0 0 1 2 3 - 1 1 2 3 - 1 - 1 2

M G F = 0 1 0 1 2 - 1 3 2 1 2 3 - 1 0 - 1 2 3 + 1

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