Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 8.Exercício - Ex. 11
Seja o ponto de encontro das diagonais do paralelepípedo da Figura 8-1.
a) Determine a matriz de mudança da base para a base .
b) Seja o ponto médio da aresta . Calcule a tripla de coordenadas de na base .
c) Mostre que todo vetor que tem as três coordenadas iguais relativamente à base é gerado por .
Passo 1
Esse é um probleminha que envolve uma visão espacial. No item (a) temos que escrever a matriz de mudança de base e, para isso, temos que escrever os vetores de em termos dos vetores de .
Vamos começar por :
Por outro lado,
Portanto,
Já para :
Assim,
Por fim, para
Desta forma, a matriz de mudança de base será
Passo 2
Agora queremos escrever o vetor na base . Primeiro vamos escrever ele na base que é mais fácil de visualizar:
Assim,
Por outro lado, sabemos que
Neste caso, temos
Somando a primeira equação com a última:
Substituindo na primeira e na segunda:
Somando as equações:
Assim,
Passo 3
No item (c) temos que mostrar algo um pouco diferente. Temos que mostrar que todos os vetores que têm as três coordenadas iguais relativamente à base é gerado por . Para isso, vamos partir da relação
Como todas as coordenadas com relação a base devem ser iguais, vamos tomar :
Assim, esse vetor genérico, que vou chamar de , é dado por
Passo 4
Agora temos que escrever e em termos de , e . Note que
Além disso,
Portanto,
Assim, vemos que é uma combinação linear de , que é exatamente o que queríamos mostrar!