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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 18

No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

S = { x , x , x ; x ∈ R }

Passo 1

Lembra as duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço? Vou te dar essa moral aí.

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Daí, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Um vetor desse subconjunto vai ter essa cara:

s = ( x , x , x )

Vamos pegar dois vetores genéricos pra testar as propriedades!

u = a ,   a ,   a

v = ( b ,   b ,   b )

Passo 2

Vamos dar uma olhada na soma dos vetores:

u + v = a ,   a , a + b ,   b , b

u + v = ( a + b ,   a + b ,   a + b )

Pô, olha só que beleza, bateu direitinho! Todas as componentes são iguais, então a primeira propriedade tá ok! Vamos pra segunda.

Passo 3

Pra multiplicação, vamos pegar um escalar qualquer α :

α s = α x ,   x ,   x

α s = ( α x ,   α x ,   α x )

Bom, essa valeu também, né? As três componentes são iguaizinhas! Então beleza, se as duas propriedades servem, esse subconjunto é um subespaço!

Resposta

É um subespaço.

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Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a b c d ; c = a + b ,d = 0
Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a b c d ,a d - b c ≠ 0 (conjunto de matrizes inversíveis)
Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a b b c ,a , b , c ∈ R (matrizes simétricas).
Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a 1 a b ,a , b ∈ R
Expressar o vetor u = - 1 ,4 ,- 4 ,6 ∈ R 4 como combinação linear dos vetores v 1 = ( 3 ,- 3 ,1 ,0 ) , v 2 = ( 0 ,1 ,- 1 ,2 ) e v 3 = ( 1 ,- 1 ,0 ,0 ) .