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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 11

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

S = { y , y ; y ∈ R }

Passo 1

Aí, meu chapa, são duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Ou seja, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Passo 2

Pra testar as propriedades, vamos precisar de dois vetores de S . Vamos pegar, por exemplo, u = ( x , x ) e v = ( y , y ) . Analisando a soma:

u + v = x , x + y , y

u + v = ( x + y ,   x + y )

Beleza, como as duas componentes são iguais, u + v também está no subconjunto.

Passo 3

Agora vamos pegar e multiplicar um vetor de S por um escalar α :

α v = α y , y

α v = ( α y ,   α y )

As duas componentes continuam iguais, e assim, multiplicar um vetor por um escalar faz com que ele continue em S . Como as duas propriedades servem, esse é um subespaço vetorial!

Resposta

É um subespaço vetorial.

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