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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 17

No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

S = x , y , z ; y = x + 2   e   z = 0

Passo 1

O importante é lembrar as duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Daí, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Um vetor desse subconjunto vai ser assim:

s = ( x ,   x + 2 ,   0 )

Então vamos pegar dois vetores genéricos pra testar as propriedades!

u = a ,   a + 2 ,   0

v = ( b ,   b + 2 ,   0 )

Passo 2

Vamos pegar eles dois pra somar e testar se continua no subconjunto:

u + v = a ,   a + 2 ,   0 + b ,   b + 2 ,   0

u + v = a + b ,   a + b + 4 ,   0

Vish, já deu ruim. Em vez de a primeira componente ser a segunda mais dois, ela é a segunda mais quatro. Daí, a soma não está no subconjunto, e portanto, como a propriedade está furada, ele não é subespaço.

Passo 3

Olha esse contraexemplo aqui:

u = 0 ,   2 ,   0

v = 1 ,   3 ,   0

Esses dois estão no subconjunto.

u + v = 1 ,   5 ,   0

Mas esse não está!

Resposta

Não é subespaço.

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Consideremos no espaço P 2 = a t 2 + b t + c ; a , b , c ∈ R os vetores p 1 = t 2 - 2 t + 1 , p 2 = t + 2 e p 3 = 2 t 2 - t .Escrever o vetor p = 5 t 2 - 5 t + 7 como combinação linear de p 1 , p 2 e
1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de R3.Todos os vetores da forma (a, 1, 1).
1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de R3.Todos os vetores da forma (a, 0, 0).
1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de R3.Todos os vetores da forma (a, b, c), com b=a+c.
1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de R3.Todos os vetores da forma (a, b, c), com b=a+c+1.