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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 6

Em cada parte, são dadas uma matriz elementar E e uma matriz A . Escreva as operações elementares com linhas correspondentes a E e mostre que, aplicando essas operações a A , o resultado E A .

  1. E = - 6 0 0 1 ,       A = - 1 - 2 5 - 1 3 - 6 - 6 - 6
  2. E = 1 0 0 - 4 1 0 0 0 1 ,       A = 2 - 1 0 - 4 - 4 1 - 3 - 1 5 3 2 0 1 3 - 1
  3. E = 1 0 0 0 5 0 0 0 1 ,       A = 1 4 2 5 3 6

Passo 1

Então galerinha, esse exercício tá pedindo pra gente escrever as operações elementares que E realiza e depois disso mostrar que aplicando essas operações em A eu chego no produto E A . Show de bolinhas, bora lá então.

Passo 2

Nossa letra (a) deu pra gente que

E = - 6 0 0 1 e     A = - 1 - 2 5 - 1 3 - 6 - 6 - 6

A operação elementar que a matriz E realiza, é que ela multiplica a primeira linha por - 6 . Se realizarmos o produto E A vamos ter

E A = - 6 0 0 1 - 1 - 2 5 - 1 3 - 6 - 6 - 6 = 6 12 - 30 6 3 - 6 - 6 - 6

Aplicando a mesma operação em A

A = - 1 - 2 5 - 1 3 - 6 - 6 - 6 ⇒ L 1 = - 6 L 1 = 6 12 - 30 6 3 - 6 - 6 - 6

Que é exatamente igual ao produto E A .

Passo 3

Já na letra (b) temos

E = 1 0 0 - 4 1 0 0 0 1 e     A = 2 - 1 0 - 4 - 4 1 - 3 - 1 5 3 2 0 1 3 - 1

A operação de E é que ele soma -4 vezes a linha 1 com a linha 2 e o produto E A é

E A = 1 0 0 - 4 1 0 0 0 1 2 - 1 0 - 4 - 4 1 - 3 - 1 5 3 2 0 1 3 - 1 = 2 - 1 0 - 4 - 4 - 7 1 - 1 21 15 - 1 9 4 - 12 - 10

Agora realizando a mesma operação em A temos

A = 2 - 1 0 - 4 - 4 1 - 3 - 1 5 3 2 0 1 3 - 1 ⇒ L 2 = L 2 - 4 L 1 = 2 - 1 0 - 4 - 4 - 7 1 - 1 21 15 - 1 9 4 - 12 - 10

E olha só, é exatamente igual ao produto E A .

Passo 4

Agora na letra (c) temos

E = 1 0 0 0 5 0 0 0 1   e     A = 1 4 2 5 3 6

A operação elementar de E é que ela multiplica a linha 2 por 5 e nosso produto E A vai ser

E A = 1 0 0 0 5 0 0 0 1 1 4 2 5 3 6 = 1 4 10 2 5 3 6

Aplicando a mesma operação, vamos obter

A = 1 4 2 5 3 6 ⇒ L 2 = 5 L 2 = 1 4 10 25 3 6

Que novamente é igual ao produto E A .

Resposta

  1. Multiplicar a linha 1 por -6: E A = 6 12 - 30 6 3 - 6 - 6 - 6
  2. Somar -4 vezes a linha 1 com a linha 2: E A = 2 - 1 0 - 4 - 4 - 7 1 - 1 21 15 - 1 9 4 - 12 - 10
  3. Multiplica a linha 2 por 5: E A =   1 4 10 25 3 6
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