Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 14

(Requer Cálculo) Projete um método de usar a multiplicação matricial para derivar funções do espaço vetorial g e r 1 , sin ⁡ x , cos ⁡ x , sin ⁡ 2 x , cos ⁡ 2 x . Use o método projetado para encontrar a derivada de 3 - 4 sin ⁡ x + sin ⁡ 2 x + 5 cos ⁡ x .

Passo 1

Belezinha então pessoal, como queremos encontrar a matriz que deriva o conjunto gerado por g e r 1 , sin ⁡ x , cos ⁡ x , sin ⁡ 2 x , cos ⁡ 2 x ,   sabendo que essa derivada é dada por { 0 , cos ⁡ x ,   - s e n x , 2 cos ⁡ x ,   - 2 s e n ( 2 x ) } , então temos que encontrar uma matriz tal que

A 1 sin ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x = 0 cos ⁡ x - sin ⁡ x 2 cos ⁡ 2 x - 2 sin ⁡ 2 x

Suponha que

A = a 1 0 0 0 0 0 a 2 0 0 0 0 0 a 3 0 0 0 0 0 a 4 0 0 0 0 0 a 5

a 1 0 0 0 0 0 a 2 0 0 0 0 0 a 3 0 0 0 0 0 a 4 0 0 0 0 0 a 5 1 sin ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x = a 1 1 a 2 sin ⁡ x a 3 cos ⁡ x a 4 sin ⁡ 2 x a 5 cos ⁡ 2 x = 0 cos ⁡ x - sin ⁡ x 2 cos ⁡ 2 x - 2 sin ⁡ 2 x

Passo 2

Logo podemos montar o sisteminha

a 1 1 = 0 a 2 sin ⁡ x = cos ⁡ x a 3 cos ⁡ x = - sin ⁡ x a 4 sin ⁡ 2 x = 2 cos ⁡ 2 x a 5 cos ⁡ 2 x = - 2 sin ⁡ 2 x

Na primeira linha temos que a 1 1 = 0 , logo a 1 = 0 . Na segunda linha temos que

a 2 sin ⁡ x = cos ⁡ x ⇒ a 2 = cos ⁡ x sin ⁡ x = cot ⁡ x

E para as outras vamos ter

a 3 cos ⁡ x = - sin ⁡ x ⇒ a 3 = - sin ⁡ x cos ⁡ x = - tan ⁡ x

a 4 sin ⁡ 2 x = 2 cos ⁡ 2 x ⇒ a 4 = 2 cos ⁡ 2 x sin ⁡ 2 x = 2 cot ⁡ 2 x

a 5 cos ⁡ 2 x = - 2 sin ⁡ 2 x ⇒ a 5 = - 2 sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x = - 2 tan ⁡ 2 x

Portanto

A = a 1 0 0 0 0 0 a 2 0 0 0 0 0 a 3 0 0 0 0 0 a 4 0 0 0 0 0 a 5 = 0 0 0 0 0 0 cot ⁡ x 0 0 0 0 0 - tan ⁡ x 0 0 0 0 0 2 cot ⁡ 2 x 0 0 0 0 0 - 2 tan ⁡ 2 x

Passo 3

Queremos derivar 3 - 4 sin ⁡ x + sin ⁡ 2 x + 5 cos ⁡ x , passando ele para base 1 , sin ⁡ x , cos ⁡ x , sin ⁡ 2 x , cos ⁡ 2 x , temos o vetor 3 ,   - 4 sin ⁡ x ,   0 , sin ⁡ 2 x , 5 cos ⁡ 2 x , logo a derivada vai ser dada por

0 0 0 0 0 0 cot ⁡ x 0 0 0 0 0 - tan ⁡ x 0 0 0 0 0 2 cot ⁡ 2 x 0 0 0 0 0 - 2 tan ⁡ 2 x 3 - 4 sin ⁡ x 0 sin ⁡ 2 x 5 cos ⁡ 2 x = 0 - 4 cos ⁡ x 0 2 cos ⁡ 2 x - 10 sin ⁡ 2 x

Então 3 - 4 sin ⁡ x + sin ⁡ 2 x + 5 cos ⁡ x ' = - 4 cos ⁡ x + 2 cos ⁡ 2 x - 10 sin ⁡ 2 x

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja T :R 4 → R 3 a transformação linear tal que T e 1 = ( 1 , - 2 ,1 ) , T e 2 = ( - 1 ,0 , - 1 ) , T e 3 = ( 0 , - 1,2 ) e T e 4 = ( 1 , - 3 ,1 ) , sendo { e 1 , e 2 , e 3 , e 4 } a base canônica do
Sabendo que a matriz de uma transformação linear T :R 2 → R 3 nas bases A = - 1 ,1 ,1 ,0 do R 2 e B = 1 ,1 ,- 1 ,2 ,1 ,0 ,3 ,0 ,1 do R 3 é: T B A = 3 1 2 5 1 - 1 Encontrar a expressão de T ( x , y ) e
A matriz de T :R 2 → R 2 relativa à base B = { v 1 , v 2 } , sendo v 1 = ( 1 ,1 ) e v 2 = ( 3 ,2 ) , é: 2 1 - 1 - 3 a) Determinar T v 1 B e T v 2 B .b) Determinar T ( v 1 ) e T ( v 2 ) .c) Calcular T
Seja T = 1 - 2 2 0 - 1 3 a matriz canônica de uma transformação linear T :R 2 → R 3 . Se T v = ( 2 ,4 , - 2 ) , calcular v .
Seja T :R 2 → R 3 uma transformação linear com matriz T B ' B = 1 - 1 0 1 - 2 3 para B = { e 1 ,e 2 } , base canônica do R 2 , e B ' = { 1 ,0 ,1 ,- 2 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 } , base do R 3 . Qual a imagem do