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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.3.Problemas Propostos - Ex. 18

Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.

Vértices em ( 5,5 ) e ( 5 , - 1 ) , excentricidade e = 2 .

Passo 1

Vamos começar: queremos encontrar a equação da hipérbole que passa pelos vértices que chamaremos de A 2 ( 5,5 ) e A 1 ( 5 , - 1 ) . Perceba o que acontece aqui, temos uma situação em que o x está fixo em ambos os casos e se altera em y , isso significa que temos um caso de segunda referência.

O centro pode ser dado pelo ponto médio dos vértices:

C 5 + 5 2 , 5 - 1 2 = ( 5,2 )

C = ( h , k )

Então:

h = 5

k = 2

O livro nos diz que a equação de hipérbole para segunda referência, teremos que:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Substituindo:

y - 2 2 a 2 - x - 5 2 b 2 = 1

Nossa equação terá essa cara. No entanto, ainda precisamos encontrar a e b .

Passo 2

Vamos começar comparando A 2 com o A 2 da segunda referência que pode ser dado por:

A 2 = ( h , k + a )

Se:

A 2 = ( 5,5 )

Então:

k + a = 5

2 + a = 5

a = 3

Outra informação que temos é que a excentricidade é dada por e = 2 , e da mesma forma:

e = c a

2 = c 3

c = 6

Com isso, conseguimos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o termo faltante b :

c 2 = a 2 + b 2

6 2 = 3 2 + b 2

36 - 9 = b 2

b 2 = 27

Passo 3

Aplicando os termos na fórmula, teremos que:

y - 2 2 9 - x - 5 2 27 = 1

Podemos reorganizar multiplicando tudo por 27:

3 y - 2 2 - x - 5 2 = 27

3 y 2 - 4 y + 4 - x 2 - 10 x + 25 = 27

3 y 2 - 12 y + 12 - x 2 + 10 x - 25 = 27

- x 2 + 3 y 2 + 10 x - 12 y + 12 - 25 - 27 = 0

- x 2 + 3 y 2 + 10 x - 12 y - 40 = 0

Multiplicando tudo por -1 para obter x 2 positivo:

x 2 - 3 y 2 - 10 x + 12 y + 40 = 0

Resposta

x 2 - 3 y 2 - 10 x + 12 y + 40 = 0

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Para uma hipérbole equilátera tendo centro em h ,k e eixo principal paralelo ao eixo x , prove que as assíntotas são perpendiculares.
34) Prove que não existe reta tangente à hipérbole x ² - y 2 = 1 ² que passe pela origem.
Ache a equação da elipse cujos os focos são os vértices da hipérbole 11 x 2 - 7 y 2 = 77 e cujos os vértices são os focos dessa hipérbole.
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