Ache o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pela hipérbole ((x^2) / (a^2)) - ((y^2) / (b^2)) = 1 e pela reta x = 2a .

Passo 1

Sabendo que a equação da hipérbole é x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1   , podemos esboçar o gráfico:

Para calcular o volume de um sólido de revolução devemos usar o conceito de limite. Como a hipérbole vai de x = a até x = 2 a :

V = π ∫ a 2 a f x 2 . d x

Para achar f x isolamos o y na equação da hipérbole:

x 2 a 2 - 1 = y 2 b 2

y ² = b ² x 2 a 2 - b ²

y = ± b ² ( x 2 - a 2 ) a 2

Substituindo na integral:

V = ± π ∫ a 2 a b ² ( x 2 - a 2 ) a 2 2 . d x

V = ± π ∫ a 2 a b ² ( x 2 - a 2 ) a 2 . d x

V = π . b 2 a 2 ∫ a 2 a ( x 2 - a 2 ) . d x

V = π . b 2 a 2 ∫ a 2 a x 2 . d x - ∫ a 2 a a 2 . d x

V = π . b 2 a 2 x 3 3 - a 2 . x | 2 a a

V = π . b 2 a 2 ( 2 a ) 3 - a ³ 3 - a 2 . [ 2 a - a ]

V = π . b 2 a 2 7 a 3 3 - a ³

V = π . b 2 a 2 4 a 3 3

V = 4 π a b 2 3

Resposta

V = 4 π a b 2 3

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