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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 28

Os focos de uma hipérbole estão em 2 ,   7 e 2 ,   - 7 , e a distância entre os vértices é 8 3 . Ache (a) a equação da hipérbole e (b) a equação das assíntotas.

Passo 1

(a)

Primeiramente vamos achar o centro da hipérbole, para isso basta entendermos que os dois focos estão alinhados com o centro, que por sua vez está no meio dos dois pontos e é equidistante aos focos. Assim podemos calcular o ponto C (centro) como o ponto médio entre o segmento dos dois focos.

x c = 2 + 2 2 ,     y c = 7 + - 7 2

x c = 4 2 ,     y c = 0 2

x c = 2 ,     y c = 0

C   ( 2 ,   0 )

Passo 2

(a)

Agora vamos procurar c , para isso vamos calcular a distância entre o centro e um dos focos.

c 2 = 2 - 2 2 + 0 - - 7 2

c 2 = 0 2 + 7 2

c = 7

Passo 3

(a)

A distância entre os vértices nos indica 2 a = 8 3 , logo temos a = 4 3 . Tendo a   e   c podemos encontrar b .

c 2 = a 2 + b 2

7 2 = 4 3 2 + b 2

49 = 48 2 + b 2

1 = b 2

b = 1

Passo 4

(a)

Agora vamos organizar a fórmula desta hipérbole, como o eixo principal da hipérbole é paralelo ao eixo   y , então   a deverá estar abaixo das coordenadas de   y e o mesmo deverá ser positivo.

y 2 1 2 - x 2 4 3 2 = 1

y 2 1 - x 2 4 8 = 1

Passo 5

(b)

As assíntotas são dadas como f y : ( x - k ) = b a ( y - h ) e g y :   x - k = - b a ( y - h ) .

f y : ( x - 2 ) = 1 4 3 y - 0

f y : x = + 4 3 12 y + 2

g y : x - 2 = - 1 4 3 y - 0

g y : x = - 4 3 12 y + 2

Resposta

(a)

y 2 1 - x 2 48 = 1

(b)

f y : x = + 4 3 12 y + 2

g y : x = - 4 3 12 y + 2

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