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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.3.Problemas Propostos - Ex. 22

Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.

Centro C ( 2 , - 3 ) , eixo real paralelo a 0 y , passando por ( 3 , - 1 ) e ( - 1,0 ) .

Passo 1

O exercício nos fornece a informação de que o centro é parelelo ao eixo y , isso significa que usaremos a segunda referência, onde a equação da hipérbole será dada por:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

O exercício também diz que C ( 2 , - 3 ) e com isso, podemos dizer que:

C = ( h , k )

C = ( 2 , - 3 )

Então:

h = 2

k = - 3

Substituindo na equação teremos:

y + 3 2 a 2 - x - 2 2 b 2 = 1

Passo 2

Uma forma de calcular e encontrar os valores de a e b é aplicar a fórmula intermediária nos pontos, para ( 3 , - 1 ) :

- 1 + 3 2 a 2 - 3 - 2 2 b 2 = 1

4 2 a 2 - 1 2 b 2 = 1

Isolando b 2 :

4 a 2 - 1 = 1 b 2  

4 - a 2 a 2 = 1 b 2

Multiplicando cruzado, teremos:

b 2 4 - a 2 = a 2

b 2 = a 2 4 - a 2

Passo 3

Ainda temos um outro ponto, o ( - 1,0 ) onde substituímos na equação:

0 + 3 2 a 2 - - 1 - 2 2 b 2 = 1

3 2 a 2 - - 3 2 b 2 = 1

9 a 2 - 9 b 2 = 1

Substituindo b 2 encontrado no passo anterior:

9 a 2 - 9 a 2 4 - a 2 = 1

A divisão de frações pode ser dada como:

9 a 2 - 9 4 - a 2 a 2 = 1  

Multiplicando tudo por a 2 :

9 - 9 4 - a 2 = a 2

9 - 36 + 9 a 2 = a 2

- 27 = - 8 a 2

8 a 2 = 27

a 2 = 27 8

Substituindo a 2 na fórmula de b 2 :

b 2 = a 2 4 - a 2 = 27 8 4 - 27 8 = 27 8 32 - 27 8 = 27 8 . 8 5 = 27 5

b 2 = 27 5

Passo 4

Agora que conhecemos a 2 e b 2 podemos colocar na fórmula intermediária:

y + 3 2 a 2 - x - 2 2 b 2 = 1

y + 3 2 27 8 - x - 2 2 27 5 = 1

A divisão de frações pode ser reescrita como:

8 y + 3 2 27 - 5 x - 2 2 27 = 1

Multiplicando por 27:

8 y + 3 2 - 5 x - 2 2 = 27  

8 y 2 + 6 y + 9 - 5 x 2 - 4 x + 4 = 27  

8 y 2 + 48 y + 72 - 5 x 2 + 20 x - 27 = 0

Multiplicando por - 1 :

5 x 2 - 8 y 2 - 20 x - 48 y - 25 = 0

Resposta

5 x 2 - 8 y 2 - 20 x - 48 y - 25 = 0

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