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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 36

Ache o centroide do sólido de rotação do Exercício 35.

Passo 1

Sabendo que a equação da hipérbole do exercício 35 é x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , podemos esboçar o gráfico:

O sólido de revolução da hipérbole é limitado por x = 2 a   possui

V = 4 π a b 2 3

Segundo o Teorema de Pappus – Guldin relativo ao volume dos sólidos de revolução, a ordenada do centroide ou centro de massa pode ser calculada por:

y c = V A . θ

Onde θ é o ângulo de giro em radianos, A é a área da superfície e V o volume do sólido.

A hipérbole gira 180° para completar o sólido, então

θ = π

Para área de uma função

A = ∫ a 2 a f x . d x

Isolando y:

A = ∫ a 2 a b x 2 - a 2 1 2 a . d x

A = b a - 1 2 . ln ⁡ 2 + 3 + 3 . a ²

A = a b . - 1 2 . ln ⁡ 2 + 3 + 3 ≅ 1,07 a b

Então:

y c = 4 π a b 2 3 1,07 a b . π ≅ 1,242 b

Substituindo na equação da hipérbole:

x 2 a 2 - ( 1,242 b ) 2 b 2 = 1

x ² = a ² ( b 2 + 1,242 b 2 ) b 2

x ² = 2,543 a ² b ² b 2

x ² = 2,543 a ²

x = 1,242 a

Resposta

C e n t r ó i d e   ( 1,242 a , 1,242 b )

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