Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.3.Problemas Propostos - Ex. 28
Em cada um dos problemas 25 a 30, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçe o gráfico.
Passo 1
Vamos começar fazendo uma análise do que o problema pede. O exercício que o esboço do gráfico, certo? Para isso precisamos encontrar e com eles montar o gráfico. Bora la?
Primeiro faremos uma análise da equação dada:
Juntando os termos em comum:
Podemos isolar termos, para isolar e temos que deixar um positivo e outro negativo :
Agora, podemos usar a regra para completar quadrados:
Então, podemos chamar e :
Aplicando a propriedade distributiva:
Dividindo tudo por 36:
Simplificando:
Passo 2
Conseguimos chegar na seguinte equação:
Lembrando que a equação é dada por:
Isso significa que:
Com essas informações podemos calcular os demais termos, primeiro com :
Passo 3
Com isso, conseguimos determinar alguns pontos importantes. Se , então:
Sabemos também que:
Então:
Agora, podemos calcular os focos:
Por fim, calculamos as coordenadas :
Passo 4
Com todas as coordenadas calculadas, podemos esboçar um gráfico. Dica: colocamos dentro de um gráfico os eixos e . Depois acrescentamos as coordenadas e o centro . Cruzaremos assíntotas com centro e entre as assíntotas teremos nosso esboço:
Resposta
