Enunciado

Em cada um dos problemas 25 a 30, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçe o gráfico.

4 x 2 - y 2 - 32 x + 4 y + 24 = 0

Passo 1

Vamos começar fazendo uma análise do que o problema pede. O exercício que o esboço do gráfico, certo? Para isso precisamos encontrar a ,   b ,   c   A 1 , A 2 , C , F 1 , F 2 ,   B 1 ,   B 2 e com eles montar o gráfico. Bora la?

Primeiro faremos uma análise da equação dada:

4 x 2 - y 2 - 32 x + 4 y + 24 = 0

Juntando os termos em comum:

4 x 2 - 32 x - y 2 + 4 y = - 24

Podemos isolar termos, para isolar x   e y temos que deixar um positivo e outro negativo :

4 x 2 - 8 x - y 2 - 4 y = - 24

Agora, podemos usar a regra para completar quadrados:

a ± b 2 = a 2 ± 2 a b + b 2

Então, podemos chamar 8 2 = b x e 4 2 = b y :

4 x 2 - 8 x + 4 2 - 4.4 2 - y 2 - 4 y + 2 2 - - 1 . 2 2 = - 24

Aplicando a propriedade distributiva:

4 x - 4 2 - 64 - y - 2 2 + 4 = - 24

4 x - 4 2 - y - 2 2 = - 24 - 4 + 64

4 x - 4 2 - y - 2 2 = 36

Dividindo tudo por 36:

4 x - 4 2 36 - y - 2 2 36 = 36 36

Simplificando:

x - 4 2 9 - y - 2 2 36 = 1

Passo 2

Conseguimos chegar na seguinte equação:

x - 4 2 9 - y - 2 2 36 = 1

Lembrando que a equação é dada por:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

Isso significa que:

h = 4

k = 2

a 2 = 9

a = 3

b 2 = 36

b = 6

Com essas informações podemos calcular os demais termos, primeiro com c :

c 2 = b 2 + a 2

c 2 = 9 + 36

c 2 = 45

c = 45 = 3 5

Passo 3

Com isso, conseguimos determinar alguns pontos importantes. Se C ( h , k ) , então:

C = ( 4,2 )

Sabemos também que:

A 1 = ( h - a , k )

A 2 = ( h + a , k )

Então:

A 1 = ( 1,2 )

A 2 = ( 7,2 )

Agora, podemos calcular os focos:

F 1 = h - c , k = ( 4 - 3 5 , 2 )

F 2 = h + c , k = ( 4 + 3 5 , 2 )

Por fim, calculamos as coordenadas B :

B 1 = h , k - b = ( 4 , - 4 )

B 2 = h , k + b = ( 4,8 )

e = c a = 3 5 3 = 5

Passo 4

Com todas as coordenadas calculadas, podemos esboçar um gráfico. Dica: colocamos dentro de um gráfico os eixos x e y . Depois acrescentamos as coordenadas A 1 , A 2 , B 2 , B 2 e o centro C . Cruzaremos assíntotas com centro C e entre as assíntotas teremos nosso esboço:

Resposta

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