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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 88

A reta t : x - y + 2 = 0 tangencia uma hipérbole de focos F 1 = ( 1,1 ) e F 2 = ( 0,3 ) . Determine o ponto de tangência e os parâmetros geométricos da hipérbole.

Passo 1

Considerando o ponto de tangência igual a T = ( h , k ) e como ele pertence a reta tangente logo:

h - k + 2 = 0

h = k - 2

Passo 2

E por termos focos em uma reta diferente do eixo x ou do y é melhor aplicar o conceito de formação da hipérbole será:

d T , F 1 - d T , F 2 = 2 a

Ou seja:

h - 1 2 + k - 1 2 - h 2 + k - 3 2 = 2 a

Substituindo h = k - 2 essa equação nós teremos:

k - 3 2 + k - 1 2 - ( k - 2 ) 2 + k - 3 2 = 2 a

2 k 2 - 8 k + 10 - 2 k 2 - 10 k + 13 = 2 a

2 k 2 - 8 k + 10 = 2 a + 2 k 2 - 10 k + 13

Elevando ao quadrado:

2 k 2 - 8 k + 10 = 4 a 2 + 4 a 2 k 2 - 10 k + 13 + 2 k 2 - 10 k + 13

2 k - 3 - 4 a 2 - 4 a 2 k 2 - 10 k + 13 = 0

- 4 a 2 - a 4 2 k 2 - 10 k + 13 + 2 k - 3 = 0

Por essa função por exemplo podemos colocar k = 2 . O que nos dá uma equação igual a:

- 4 a 2 - 4 a + 1 = 0

a = 0.207

Somente podemos escolher valores positivos de a .

h = 0

Passo 3

E o valor de c será a metade da distância entre os focos:

2 c = 1 - 0 2 + 1 - 3 2 = 5

Portanto c = 5 2

Então:

a 2 + b 2 = c 2

b = 5 4 - a 2 = 1.0987

Resposta

c = 5 2

Para k = 2 , h = 0 a = 0.207 , b = 1.0987

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