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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 50

50- Sejam F 1 e F 2 os focos da hipérbole H : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 e P = ( h , k ) . Prove que:

( a ) P pertence a região côncava determinada por H se, e somente se, d P , F 1 - d P , F 2 < 2 a

( b ) P pertence a região focal de H se, e somente se, d P , F 1 - d P , F 2 > 2 a

Passo 1

A região côncava de uma elipse é toda a região representada abaixo.

E ela terá uma equação igual a:

x 2 a 2 - y 2 b 2 < 1

Então queremos mostrar que:

h 2 a 2 - k 2 b 2 < 1     ↔ d P , F 1 - d P , F 2 < 2 a  

Pois queremos aplicar o ponto P e ver se essa relação se satisfaz.

Onde a distância entre P e F 1 será:

d P , F 1 = h + c 2 + k 2

E a distância entre P   e F 2 :

d P , F 2 = h - c 2 + k 2

Logo:

d P , F 1 - d P , F 2 = h + c 2 + k 2 - h - c 2 + k 2

O que nos dá:

d P , F 1 - d P , F 2 = h 2 + 2 h c + c 2 + k 2 - h 2 - 2 h c + c 2 + k 2

Em c 2 = a 2 + b 2 em a é o eixo vertical e b o horizontal, logo:

d P , F 1 - d P , F 2 = h 2 + 2 h c + a 2 + b 2 + k 2 - h 2 - 2 h c + a 2 + b 2 + k 2

E que se isso tudo é menor que 2 a então:

h 2 + 2 h c + c 2 + k 2 - h 2 - 2 h c + c 2 + k 2 < 2 a

h 2 + 2 h c + a 2 + b 2 + k 2 2 < 2 a + h 2 - 2 h c + a 2 + b 2 + k 2 2

Só passei d ( P , F 2 ) pro outro lado e elevei ao quadrado.

h 2 + 2 h c + a 2 + b 2 + k 2 < 4 a 2 + 4 a h 2 - 2 h c + a 2 + b 2 + k 2 + h 2 - 2 h c + a 2 + b 2 + k 2

4 h c < 4 a 2 + 4 a h 2 - 2 h c + a 2 + b 2 + k 2

Dividindo tudo por 4 e passando 4 a 2 para o outro lado:

h c - a 2 < a h 2 - 2 h c + a 2 + b 2 + k 2

Passo 2

Agora por parte da equação da hipérbole:

h 2 a 2 - k 2 b 2 < 1    

h 2 b 2 - a 2 k 2 < a 2 b 2

h 2 b 2 < a 2 b 2 + a 2 k 2

h 2 b 2 < a 2 ( b 2 + k 2 )

Se somarmos a 2 h 2 - 2 h c + a 2 nos dois lados (eu sei parece roubado mas pensa que queremos chegar no mesmo resultado do passo anterior para provarmos a relação se e somente se):

h 2 b 2 + a 2 h 2 - 2 h c + a 2 < a 2 b 2 + k 2 + a 2 ( h 2 - 2 h c + a 2 )

Onde a 2 + b 2 = c 2

h 2 c 2 - 2 a 2 h c + a 4 < a 2 b 2 + k 2 + a 2 ( h 2 - 2 h c + a 2 )

O que é o mesmo que:

h c - a 2 2 < a 2 b 2 + k 2 + h 2 - 2 h c + a 2

Tirando a raiz ficamos com:

h c - a 2 < a h 2 - 2 h c + a 2 + b 2 + k 2

E como conseguimos chegar numa relação de igualdade no meio do caminho então temos sim uma relação se e somete se.

Passo 3

Para a letra b só fazer

h 2 + 2 h c + c 2 + k 2 - h 2 - 2 h c + c 2 + k 2 > 2 a

h 2 a 2 - k 2 b 2 > 1  

Nós iremos encontrar:

h c - a 2 > a h 2 - 2 h c + a 2 + b 2 + k 2

Para os dois casos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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