Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 50
50- Sejam e os focos da hipérbole e . Prove que:
pertence a região côncava determinada por se, e somente se,
pertence a região focal de se, e somente se,
Passo 1
A região côncava de uma elipse é toda a região representada abaixo.
E ela terá uma equação igual a:
Então queremos mostrar que:
Pois queremos aplicar o ponto e ver se essa relação se satisfaz.
Onde a distância entre e será:
E a distância entre e :
Logo:
O que nos dá:
Em em é o eixo vertical e o horizontal, logo:
E que se isso tudo é menor que então:
Só passei pro outro lado e elevei ao quadrado.
Dividindo tudo por 4 e passando para o outro lado:
Passo 2
Agora por parte da equação da hipérbole:
Se somarmos nos dois lados (eu sei parece roubado mas pensa que queremos chegar no mesmo resultado do passo anterior para provarmos a relação se e somente se):
Onde
O que é o mesmo que:
Tirando a raiz ficamos com:
E como conseguimos chegar numa relação de igualdade no meio do caminho então temos sim uma relação se e somete se.
Passo 3
Para a letra só fazer
Nós iremos encontrar:
Para os dois casos.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)