Dada a parábola P : y 2 = 8 x , obtenha equações ( a ) da teta tangente a P no ponto ( 2 , - 4 ) ( b ) da reta tangente a P , paralela a s : y = 4 x ( c ) das retas que contém o ponto ( 2,5 ) e são tangentes a P ( d ) da reta normal a P no ponto 25 2 , 10 ( e ) da reta que contém o ponto 5 2 , 35 e é normal a parábola.

a )y + x + 2 = 0 b )2 y - 8 x - 1 = 0 c ) 2 x - y + 1 = 0 e x - 2 y + 8 = 0 d )4 y + 10 x - 165 = 0 e )4 y + 10 x - 165 = 0

Enunciado

A equação desse livro nos mostra que a equação de uma reta tangente a parábola de equação será:

Então conseguimos ver que e que pois é o ponto de tangência. Logo:

Então a equação da reta tangente será:

Fazendo a letra .

O ponto de tangência tem um ponto igual a e na equação da parábola ela fica:

E na equação da reta tangente ela fica (com :

Então para termos uma reta paralela a obrigatoriamente deveremos ter , o que nos dá uma valor de igual a:

Portanto a equação da reta tangente será:

Ou:

Agora na letra nós queremos que a reta tangente contenha o ponto , ou seja:

Porém:

Então substituindo :

O que nos dá valores de k iguais a:

Consequentemente os valores de serão:

Logo teremos dois pontos de tangência que serão em e , e portanto duas retas tangentes que serão:

Agora a letra :

Equação da reta tangente:

Como , onde é o coeficiente angular da reta normal e ele vale , então:

Portanto a equação dessa reta será da forma:

Substituindo e e (pois o ponto de tangência está na reta normal), logo:

Logo a equação da normal será:

Ufa, finalmente a letra e:

Agora o ponto está na reta normal mas não é o ponto de tangência.

O vetor diretor de uma reta normal vale:

Portanto a equação normal será igual a:

E como:

E como e nós teremos:

Portanto a equação da normal fica: