Dada a parábola , obtenha equações

da teta tangente a no ponto

da reta tangente a , paralela a

das retas que contém o ponto e são tangentes a

da reta normal a no ponto

da reta que contém o ponto e é normal a parábola.

Fazendo a letra .

O ponto de tangência tem um ponto igual a e na equação da parábola ela fica:

E na equação da reta tangente ela fica (com :

Então para termos uma reta paralela a obrigatoriamente deveremos ter , o que nos dá uma valor de igual a:

Portanto a equação da reta tangente será:

Ou:

Agora na letra nós queremos que a reta tangente contenha o ponto , ou seja:

Porém:

Então substituindo :

O que nos dá valores de k iguais a:

Consequentemente os valores de serão:

Logo teremos dois pontos de tangência que serão em e , e portanto duas retas tangentes que serão:

Agora a letra :

Equação da reta tangente:

Como , onde é o coeficiente angular da reta normal e ele vale , então:

Portanto a equação dessa reta será da forma:

Substituindo e e (pois o ponto de tangência está na reta normal), logo:

Logo a equação da normal será:

Ufa, finalmente a letra e:

Agora o ponto está na reta normal mas não é o ponto de tangência.

O vetor diretor de uma reta normal vale:

Portanto a equação normal será igual a:

E como:

E como e nós teremos:

Portanto a equação da normal fica: