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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2.Problemas Propostos - Ex. 16

Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.

16) eixo maior mede 10 e os focos F 1 ( 2 , - 1 ) e F 2 ( 2 ,   5 ) .

Passo 1

Neste problema, precisamos determinar a equação da elipse, cujo eixo maior vale 10 e os focos são dados por: F 1 ( 2 , - 1 ) e F 2 ( 2 ,   5 )

Vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Bem, como o eixo maior mede 10, temos:

2 a = 10

a = 5

Além disso, sabemos que a distância focal será dada por d = 6 , portanto:

2 c = 6

c = 3

Passo 3

Como conhecemos os valores de a e c , podemos determinar b :

a 2 = b 2 + c 2

5 2 = b 2 + 3 2

b 2 = 16

b = 4

Já o eixo da elipse é dado por x = 2 .

Passo 4

Agora, observem que a coordenada do centro e do foco são iguais em x e, portanto, o eixo maior da elipse é posicionado neste eixo x = 2 , paralelo ao eixo dos y . Portanto, temos que a equação da elipse vai ser dada por:

( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1

Passo 5

O centro C 2 ,   2 ou C 2 , - 1 + 5 2   define C h ,   k .

Logo:

h = 2

k = 4

Passo 6

Por fim, fazendo os cálculos:

x - 2 2 16 + y - 2 2 2 5 = 1

25 x 2 - 4 x + 4 + 16 y 2 - 4 y + 4 = 400

25 x 2 + 16 y 2 - 100 x - 64 y - 236 = 0

Portanto, a equação da elipse é: 25 x 2 + 16 y 2 - 100 x - 64 y - 236 = 0 . 😉

Resposta

25 x 2 + 16 y 2 - 100 x - 64 y - 236 = 0

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