Calcule a área do losango cujos vértices são os focos e as extremidades do eixo menor da elipse de equação x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 . Em que condições esse losango é um quadrado?

Passo 1

Um losango é a figura plana onde os quatro lados são congruentes, e as diagonais são perpendiculares.

Se as medidas das diagonais medem, respectivamente, l 1 e l 2 , então a área do losango será:

A = 1 2 l 1 l 2

No caso da questão, podemos fazer a seguinte construção:

onde F 1 e F 2 são os focos e A ,   B são as extremidades do eixo menor.

Passo 2

A área do losango será:

A = 1 2 F 1 F 2 - ⋅ A B - = 1 2 2 c ⋅ 2 b = 2 b c

Sabemos que

c = a 2 - b 2

Logo, a área será

A = 2 b a 2 - b 2

Passo 3

Quando o losango será um quadrado? Um quadrado é um caso especial de losango quando as diagonais são iguais. Assim, devemos ter

F 1 F 2 - = A B - ∴ 2 c = 2 b ⟹ c = b

Assim,

a 2 = b 2 + c 2 ∴ a 2 = b 2 + b 2 ∴ a = b 2

Portanto, o losango será um quadrado quando a = b 2 .

Resposta

A área mede 2 b a 2 - b 2 e será um quadrado quando a = b 2 .

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