Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.3.Problemas Propostos - Ex. 25

Em cada um dos problemas 25 a 30, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçe o gráfico.

9 x 2 - 4 y 2 - 18 x - 16 y - 43 = 0

Passo 1

Vamos começar fazendo uma análise do que o problema pede. O exercício que o esboço do gráfico, certo? Para isso precisamos encontrar a ,   b ,   c   A 1 , A 2 , C , F 1 , F 2 ,   B 1 ,   B 2 e com eles montar o gráfico. Bora la?

Primeiro faremos uma análise da equação dada:

9 x 2 - 4 y 2 - 18 x - 16 y - 43 = 0

Juntando os termos em comum:

9 x 2 - 18 x - 4 y 2 - 16 y = 43

Podemos isolar termos, para isolar x   e y temos que deixar um positivo e outro negativo :

9 x 2 - 2 x - 4 y 2 + 4 y = 43

Agora, podemos usar a regra para completar quadrados:

a ± b 2 = a 2 ± 2 a b + b 2

Então, podemos chamar 2 2 = b x e 4 2 = b y :

9 x 2 - 2 x + 1 2 - 1 2 - 4 y 2 - 4 y + 2 2 - 2 2 = 43

Retirando alguns dos termos de dentro da multiplicação:

9 x 2 - 2 x + 1 - 9 - 4 y 2 - 4 y + 4 + 16 = 43

Aplicando a propriedade distributiva:

9 x - 1 2 - 9 - 4 y + 2 2 + 16 = 43

9 x - 1 2 - 4 y + 2 2 = 43 - 7

9 x - 1 2 - 4 y + 2 2 = 36

Dividindo tudo por 36:

9 x - 1 2 36 - 4 y + 2 2 36 = 36 36

Simplificando:

x - 1 2 4 - y + 2 2 9 = 1

Passo 2

Conseguimos chegar na seguinte equação:

x - 1 2 4 - y + 2 2 9 = 1

Lembrando que a equação é dada por:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

Isso significa que:

h = 1

k = - 2

a 2 = 4

a = 2

b 2 = 9

b = 3

Com essas informações podemos calcular os demais termos, primeiro com c :

c 2 = b 2 + a 2

c 2 = 4 + 9

c 2 = 13

c = 13

Passo 3

Com isso, conseguimos determinar alguns pontos importantes. Se C ( h , k ) , então:

C = ( 1 , - 2 )

Sabemos também que:

A 1 = ( h - a , k )

A 2 = ( h + a , k )

Então:

A 1 = 1 - 2 , - 2 = ( - 1 , - 2 )

A 2 = ( 3 , - 2 )

Agora, podemos calcular os focos:

F 1 = h - c , k = ( 1 - 13 , - 2 )

F 2 = h + c , k = ( 1 + 13 , - 2 )

Por fim, calculamos as coordenadas B :

B 1 = h , k - b = 1 , - 2 - 3 = ( 1 , - 5 )

B 2 = h , k + b = 1 , - 2 + 3 = ( 1,1 )

e = c a = 13 2

Passo 4

Com todas as coordenadas calculadas, podemos esboçar um gráfico. Dica: colocamos dentro de um gráfico os eixos x e y . Depois acrescentamos as coordenadas A 1 , A 2 , B 2 , B 2 e o centro C . Cruzaremos assíntotas com centro C e entre as assíntotas teremos nosso esboço:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a equação da parábola com vértice em ( 2 ,1 ) e diretriz x = 0 .
Encontre a equação da elipse com centro em ( 1 ,- 1 ) , semi eixo maior 6 , excentricidade e = 2 3 e semi eixo maior vertical.
Encontre a equação da elipse com focos em ( 0 ,0 ) e ( 0 ,10 ) , e semi eixo maior 5 5 .
Encontre as retas tangentes à cônica abaixo no ponto indicado (use derivação implícita).c) 25 x 2 - y 2 = 100 , em - 3 ,5 5
Encontre a equação da hipérbole com focos em ( 0 ,- 3 ) e ( 0 ,5 ) e um vértice em ( 0 ,1 + 10 ) .