Encontre as retas tangentes às cônicas abaixo nos pontos indicados (use derivação implícita).

x 2 + 25 y 2 = 100 ,         e m     6 , 8 5

Passo 1

O exercício pede para usarmos derivação implícita para achar a reta tangente à elipse de equação

x 2 + 25 y 2 = 100

no ponto 6 , 8 5 . Para isso, derivamos a equação implicitamente com relação a x :

2 x + 2 ⋅ 25 y ⋅ d y d x = 0

Assim, isolado d y / d x , achamos

d y d x = - x 25 y

Substituindo x = 6 e y = 8 / 5 , encontramos o coeficiente angular da reta tangente:

m = - 6 25 ⋅ 8 5 = - 3 20

Passo 2

A equação da reta tangente que passa pelo ponto x 0 ,   y 0 é

y - y 0 = m   x - x 0

Assim,

y - 8 5 = - 3 20 x - 6

Portanto,

y - 8 5 = - 3 x 20 + 9 10

Assim, achamos a equação da reta tangente:

y = - 3 x 20 + 5 2

Resposta

y = - 3 x 20 + 5 2

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