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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 114

O mecanismo da Figura 22-27 (b), conhecido como compasso elíptico, é formado por uma haste rígida, de comprimento m , cujas extremidades A e B são articuladas a blocos obrigados a movimentar-se nas respectivas guias.

  1. Fixado um ponto P da haste, diferente de A e B , mostre que, em um ciclo completo do mecanismo, P descreverá uma elipse ou uma circunferência. Especifique as posições de P para que ocorra uma ou outra coisa.
  2. Supondo que P divide A ,   B na razão 4 , determine os focos, os vértices, a excentricidade e os parâmetros geométricos da elipse, em função de m .
  3. Como você utilizaria o instrumento para traçar uma elipse, dando seus parâmetros geométricos a e b ?
  4. Descreva as trajetórias de A e B em um ciclo completo do mecanismo.

Passo 1

  1. Sejam A = x A ,   0 ,   B = 0 ,   y B e P = x P ,   y P . Seja r = P A - / P B - . Assim,

    A P → = r ⋅ P B → ∴ P - A = r B - P ∴ P = A + r B 1 + r ⟹ x P ,   y P = x A 1 + r , r y B 1 + r

    ∴ x P = x A 1 + r y P = r y B 1 + r ⟹ x A = x P 1 + r y B = y P 1 + r r

    As coordenadas de A e B devem satisfazer:

    x A 2 + y B 2 = m 2 ∴ 1 + r 2 x P 2 + 1 + r 2 y P 2 r 2 = m 2

    x P 2 m 2 / 1 + r 2 + y P 2 m 2 r 2 / 1 + r 2 = 1

    Note que se

    m 2 1 + r 2 ≠ m 2 r 2 1 + r 2 ⟹ r ≠ 1

    então teremos uma elipse. Quando r = 1 (ou seja, P é ponto médio de A B ), segue que o lugar geométrico é uma circunferência.

    Passo 2

  2. Podemos usar o resultado anterior. Temos que

    3. r = 4

    Logo,

    x P 2 m 2 / 25 + y p 2 16 m 2 / 25 = 1

    donde tiramos que

    a 2 = 16 m 2 25 ∴ a = 4 m 5

    b 2 = m 2 25 ∴ b = m 5

    c 2 = 16 m 2 25 - m 2 25 = 15 m 2 25 = 3 m 2 5 ⟹ c = 15 5 m

    e = c a = 15 m / 5 4 m / 5 = 15 4 .

    Passo 3

  3. Ainda usando a equação da elipse dada, temos que

    4. a 2 = m 2 1 + r 2   ∴     a = m 1 + r

    b 2 = m 2 r 2 1 + r 2 ∴       b = m r 1 + r

    Logo, note que

    a + b = m 1 + r + m r 1 + r = m 1 + r 1 + r = m

    Assim, basta construir uma haste de tamanho a + b e fixar um ponto P a uma distância a de qualquer uma das extremidades.

  4. Os pontos A e B percorrerão os segmentos de reta: A indo de 0 ,   m até 0 ,   - m e B indo de m ,   0 até - m ,   0 .

Resposta

  1. Para ser uma circunferência, P deve ser ponto médio de A B - .
  2. a = 4 m / 5 , b = m / 5 , c = 15 m / 5 , e = 15 / 4 .
  3. Ver solução acima.
  4. Ver solução acima.
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Ache uma equação da circunferência que passa pelos pontos 3 ,- 1 , 2 ,2 e - 4 ,5 .