Dê condições sobre a e b para que o losango cujos vértices são os focos e as extremidades do eixo conjugado da hipérbole H : x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 seja um quadrado. Calcule a área do losango.

Passo 1

Um losango é a figura plana onde os quatro lados são congruentes, e as diagonais são perpendiculares.

Se as medidas das diagonais medem, respectivamente, l 1 e l 2 , então a área do losango será:

A = 1 2 l 1 l 2

No caso da questão, podemos fazer a seguinte construção

onde F 1 e F 2 são os focos e A ,   B são as extremidades do eixo conjugado.

O losango será um quadrado quando suas diagonais forem congruentes.

Passo 2

Temos que

A = 1 2 F 1 F 2 - ⋅ A B - = 1 2 2 c 2 b = 2 c b

onde c = a 2 + b 2 . Logo:

A = 2 b a 2 + b 2

Passo 3

Para que as diagonais sejam congruentes:

A B - = F 1 F 2 - ∴ 2 b = 2 c ∴ b = c

c 2 = a 2 + b 2 ⟹ a = 0

o que é impossível. Logo, o losango em questão nunca pode ser um quadrado!

Resposta

O losango nunca poderá ser um quadrado. A área será A = 2 b a 2 + b 2 .

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