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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 17

Determine se o gráfico da equação dada é uma elipse, um ponto ou um conjunto vazio.

4 x 2 + y 2 - 8 x + 2 y + 5 = 0

Passo 1

A questão pede para determinarmos se a equação dada representa uma elipse, um ponto ou um conjunto vazio. O que temos que fazer é completar quadrados para escrever a equação na forma

x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2 = H

Se H > 0 , teremos uma elipse; se H = 0 , teremos um ponto; por fim, se H < 0 , teremos um conjunto vazio.

Neste caso, temos 4 x 2 - 8 x + y 2 + 2 y + 5 = 0 .

Passo 2

Olhando para a parte com x :

4 x 2 - 8 x = 4 x 2 - 2 x = 4 x 2 - 2 x + 1 - 1 = 4 x - 1 2 - 4

Agora para a parte com y :

y 2 + 2 y = y 2 + 2 y + 1 - 1 = y + 1 2 - 1

Assim, a equação da elipse será

4 x - 1 2 - 4 + y + 1 2 - 1 + 5 = 0

Portanto,

4 x - 1 2 + y + 1 2 = 0

Como H = 0 , essa equação representa o ponto:

h ,   k = 1 ,   - 1

Resposta

Ponto.

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Esboçar o gráfico e determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. 9 x 2 + 25 y 2 = 25
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Esboçar o gráfico e determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. 4 x 2 + 9 y 2 = 25
Centro C ( 0,0 ) , eixo menor igual a 6, focos no eixo dos x e passando pelo ponto ( 2 5 , 2 ) ;