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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 23

Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.

Vértices em ( - 2 ,   0 ) e ( 2 ,   0 ) e passa pelo ponto - 1 , 3 2 .

Passo 1

A questão pede a equação da elipse com vértices ( - 2 ,   0 ) e ( 2 ,   0 ) e que passa pelo ponto - 1 , 3 2 . Como os vértices estão sobre o eixo x , este é o eixo principal da elipse.

O centro da elipse será ( 0 ,   0 ) , que é o ponto médio dos vértices. Assim, a equação é do tipo

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Note também que a = 2 pois essa é a distância de um dos vértices até o centro. Assim,

x 2 4 + y 2 b 2 = 1

Passo 2

Para achar b 2 e, consequentemente, a equação da elipse você precisa usar o fato que a elipse passa pelo ponto - 1 , 3 2 . Substituindo esse ponto na equação:

1 4 + 3 4 b 2 = 1

Assim,

3 4 b 2 = 1 - 1 4 = 3 4 ⇒ b 2 = 1

Portanto, a equação da elipse será

x 2 4 + y 2 = 1

Passo 3

O esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

x 2 4 + y 2 = 1

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