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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 24

Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.

Vértices em ( 0 ,   5 ) e ( 0 ,   - 5 ) e passa pelo ponto 2 , - 5 5 3 .

Passo 1

A questão pede a equação da elipse com vértices ( 0 ,   5 ) e ( 0 ,   - 5 ) e que passa pelo ponto 2 , - 5 5 3 . Como os vértices estão sobre o eixo y , este é o eixo principal da elipse.

O centro da elipse será ( 0 ,   0 ) , que é o ponto médio dos vértices. Assim, a equação é do tipo

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

Note também que a = 5 pois essa é a distância de um dos vértices até o centro. Assim,

x 2 b 2 + y 2 25 = 1

Passo 2

Para achar b 2 e, consequentemente, a equação da elipse você precisa usar o fato que a elipse passa pelo ponto 2 , - 5 5 3 . Substituindo esse ponto na equação:

4 b 2 + 25 ⋅ 5 25 ⋅ 9 = 1 ⇒ 4 b 2 + 5 9 = 1

Assim,

4 b 2 = 1 - 5 9 = 4 9 ⇒ b 2 = 9

Portanto, a equação da elipse será

x 2 9 + y 2 25 = 1

Passo 3

O esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

x 2 9 + y 2 25 = 1

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Esboçar o gráfico de uma elipse de excentricidade: 1 2
Esboçar o gráfico de uma elipse de excentricidade: 1 3
Vértices A ( ± 10 , 0 ) e excentricidade 1 2 ;
Esboçar o gráfico de uma elipse de excentricidade: 3 5
Focos F 1 ( 0 , - 5 ) e F 2 ( 0 , 5 ) , eixo menor igual a 10;