Se F 1 e F 2 são os focos da elipse E : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , prove que: a P é um ponto interior a E se, e somente se, d P 1 F 1 + d P 1 F 22 a ; b P é exterior à elipse se, e somente, se d P 1 F 1 + d P 1 F 22 a ;

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 49

Se e são os focos da elipse , prove que:

é um ponto interior a se, e somente se, ;

é exterior à elipse se, e somente, se ;

Passo 1

Sejam pontos distintos de um plano e uma distância qualquer tomada neste mesmo plano tal que . A elipse nada mais é do que o lugar geométrico dos pontos desse plano onde . Agora, lembraremos o que é um ponto interno e externo, tomando uma definição menos formal temos que um ponto é dito interior a uma elipse quando suas coordenadas se encontram completamente dentro da elipse, enquanto que um ponto exterior é exatamente o contrário.

Passo 2

Pois bem, feita a nossa definição da elipse fica intuitivo saber provar ambos itens desde que nos lembremos que no caso em que temos vamos estar exatamente no bordo da nossa elipse. Dessa forma, tomando pontos onde temos vamos estar exatamente dentro da elipse e, assim, qualquer ponto com essa característica é ponto interior. De forma análoga, temos que para o caso em que vamos ter que o ponto será exterior. Lembrando que somente nesses casos vamos ter as condições do ponto ser interno ou externo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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