Determine as retas tangentes á elipse E : x 2 + 3 y 2 = 7 que contêm o ponto P = ( - 1 , - 3 ) .

Passo 1

Indicaremos aqui um ponto de tangência T = h , k e esse ponto não é o ponto P , pois este não pertence à elipse. Sendo assim, uma equação da reta tangente a E em T , através da forma prática, é dada por

h x p + k y q = 1

Para o nosso caso, temos que p = 7   e   q = 7 3 sendo assim vamos ter

h x 7 + 3 k y 7 = 1 → h x + 3 k y = 7     i  

Temos que P = - 1 , - 3 pertence a reta descrita acima então

- h - 9 k = 7     i i

Mas esse ponto também pertence à nossa elipse, logo, temos

h 2 + 3 k 2 = 7   i i i

Resolvendo o sistema formado por i i e i i i vamos encontrar dois pares ordenados para T que serão

h , k = 2,1   e   h , k = 11,2

Passo 2

Para cada par ordenado desses vamos substituir em i e obteremos uma equação da reta. Dessa forma, para h , k = 2,1 vamos ter

h x + 3 k y = 7 → 2 x + 3 y = 7

Agora, para h , k = 11,2 teremos

h x + 3 k y = 7 → 11 x + 6 y = 7

Resposta

As retas tangentes são 2 x + 3 y = 7   e   11 x + 6 y = 7  

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