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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 142

Seja F o foco da parábola P : y 2 = 4 p x . Localize os pontos Q do eixo da parábola para os quais todos os pontos de P veem o segmento F Q sob ângulo agudo.

Passo 1

Foi nos dado a equação da parábola P . O vértice vale 0 ,   0 e o eixo da parábola coincide com o eixo O x . Assim, F = p , 0 . Considere que P = x , y seja um ponto localizado sobre a parábola, ou seja,

y 2 = 4 p x

Tomemos Q = m . 0 pontos sobre o eixo de P . O que desejamos é:

P F → ⋅ P Q → > 0

Passo 2

Portanto, vamos começar calculando P F → e P Q → :

P F → = F - P = p , 0 - x , y = p - x , - y

P Q → = Q - P = m , 0 - x , y = m - x , - y

Logo,

P F → ⋅ P Q → = p - x m - x + y 2 = p m - x p + m + x 2 + 4 p x

P F → ⋅ P Q → = x 2 + x 3 p - m + p m

Queremos que P F → ⋅ P Q → > 0 ∀   x . Dessa forma, basta impor que Δ < 0 se considerarmos a equação acima como quadrática em x :

3 p - m 2 - 4 p m < 0 ⟺

9 p 2 - 6 p m + m 2 - 4 p m < 0 ⟺

9 p 2 - 10 p m + m 2 < 0 ⟺ m - 9 p m - p < 0

ou seja, p < m < 9 p .

Resposta

Assim, devemos ter p < m < 9 p .

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