Consideremos uma transformação linear F : U → V . Se dim ⁡ U > dim ⁡ V , prove que existe um vetor não nulo u 0 ∈ U tal que F u 0 = 0 (vetor nulo de V ). (Ou seja, F não é injetora.)

Passo 1

Vamos lá! Se a gente associa o texto da questão com os assuntos estudados logo antes deste exercício, temos uma série de dicas de como resolvê-la.

Vejam só. A questão está pedindo que a transformação F não seja injetora. Aí a gente se pergunta, o que acontece quando ela não é? Ou melhor, o que acontece com um subespaço específico?

Confuso ainda? A questão também diz para provarmos que um vetor não nulo u 0 é tal que F u 0 = 0 . Qual seria o nome especial do conjunto formado por este grupo de vetores?

Se vocês lembraram do núcleo, estão certos! Sim!!! Para que F não seja injetora, a dimensão do núcleo deve ser diferente de 0. É isto o que estamos buscando.

Passo 2

Agora que sabemos o que temos que verificar para provar a relação, fica mais fácil.

E para fazermos isto, vamos precisar do teorema do núcleo e imagem. Lembrando que a nossa transformação é F : U → V , pelo teorema, temos:

dim ⁡ U = dim ⁡ ker ⁡ F + dim ⁡ I m F

dim ⁡ ker ⁡ F = dim ⁡ U - dim ⁡ I m F

Já temos algo encaminhado agora. Para podermos continuar nossa análise, temos que relacionar a imagem da nossa transformação F com o nosso contradomínio V .

Esta relação é exatamente a seguinte:

I m F ⊂ V

A imagem está contida no contradomínio. E isto implica que:

dim ⁡ I m F ≤ V

Portanto,

dim ⁡ ker ⁡ F = dim ⁡ U - dim ⁡ I m F ≥ dim ⁡ U - dim ⁡ V

dim ⁡ ker ⁡ F ≥ dim ⁡ U - dim ⁡ V

Mas como a própria questão nos diz que dim ⁡ U > dim ⁡ V , temos:

dim ⁡ ker ⁡ F > 0

E assim, verificamos que F não é injetora, visto que a dimensão do seu núcleo é, obrigatoriamente, maior do que 0. Finalizamos então a nossa questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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