Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 13
Consideremos uma transformação linear . Se , prove que existe um vetor não nulo tal que (vetor nulo de ). (Ou seja, não é injetora.)
Passo 1
Vamos lá! Se a gente associa o texto da questão com os assuntos estudados logo antes deste exercício, temos uma série de dicas de como resolvê-la.
Vejam só. A questão está pedindo que a transformação não seja injetora. Aí a gente se pergunta, o que acontece quando ela não é? Ou melhor, o que acontece com um subespaço específico?
Confuso ainda? A questão também diz para provarmos que um vetor não nulo é tal que . Qual seria o nome especial do conjunto formado por este grupo de vetores?
Se vocês lembraram do núcleo, estão certos! Sim!!! Para que não seja injetora, a dimensão do núcleo deve ser diferente de 0. É isto o que estamos buscando.
Passo 2
Agora que sabemos o que temos que verificar para provar a relação, fica mais fácil.
E para fazermos isto, vamos precisar do teorema do núcleo e imagem. Lembrando que a nossa transformação é , pelo teorema, temos:
Já temos algo encaminhado agora. Para podermos continuar nossa análise, temos que relacionar a imagem da nossa transformação com o nosso contradomínio .
Esta relação é exatamente a seguinte:
A imagem está contida no contradomínio. E isto implica que:
Portanto,
Mas como a própria questão nos diz que , temos:
E assim, verificamos que não é injetora, visto que a dimensão do seu núcleo é, obrigatoriamente, maior do que 0. Finalizamos então a nossa questão!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)