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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 3

Determinar um operador linear do R 4 cujo núcleo é gerado por 1,1 , 0,0 e 0,0 , 1,0 .

Passo 1

Vamos lá! Precisamos determinar um operador linear qualquer. Sim, qualquer. A única restrição é que o núcleo seja gerado pelos vetores 1,1 , 0,0 e 0,0 , 1,0 .

Este tipo de questão é feito através de uma série de passos, sendo o primeiro deles construir uma base para o R 4 , e é isto que faremos agora. Vamos aproveitar os dois vetores do núcleo para construir uma base para o R 4 .

Passo 2

Podemos escolher quaisquer outros vetores. Para facilitar nossa vida, vamos compor uma base B com os vetores 0,1 , 0,0 e 0,0 , 0,1 . Portanto, B = 1,1 , 0,0 , 0,0 , 1,0 , 0,1 , 0,0 , 0,0 , 0,1 .

Mas será se a nossa escolha realmente forma uma base? Este passo é importante sempre checarmos! Para isto, vamos escrever o vetor nulo como combinação linear dos nossos vetores, e vamos verificar se os coeficientes da combinação são todos iguais a zero. Portanto,

a 1,1 , 0,0 + b 0,0 , 1,0 + c 0,1 , 0,0 + d 0,0 , 0,1 = 0,0 , 0,0

a , a , 0,0 + 0,0 , b , 0 + 0 , c , 0,0 + 0,0 , 0 , d = 0,0 , 0,0

a , a + c , b , d = 0,0 , 0,0

A única solução para o sistema acima (comparando coordenada a coordenada) é a = b = c = d = 0 . Portanto, a nossa escolha realmente forma uma base!

Passo 3

Agora, vamos ter que escrever um vetor qualquer x , y , z , t do R 4 como combinação da base B . Este procedimento é importante para conseguirmos o nosso operador F (não que os outros não sejam né).

Então, vamos fazer um procedimento semelhante ao do Passo 2. A diferença será no vetor x , y , z , t no lugar do vetor nulo. Portanto,

a 1,1 , 0,0 + b 0,0 , 1,0 + c 0,1 , 0,0 + d 0,0 , 0,1 = x , y , z , t

a , a , 0,0 + 0,0 , b , 0 + 0 , c , 0,0 + 0,0 , 0 , d = x , y , z , t

a , a + c , b , d = x , y , z , t

Portanto, a solução é a = x , b = z , c = y - x e d = t .

Passo 4

Agora vamos obter realmente o nosso operador. Do Passo 3 verificamos que:

x , y , z , t = x 1,1 , 0,0 + z 0,0 , 1,0 + y - x 0,1 , 0,0 + t 0,0 , 0,1

Agora, vamos aplicar o operador F e utilizar as propriedades das transformações lineares. Portanto,

F x , y , z , t = F x 1,1 , 0,0 + z 0,0 , 1,0 + y - x 0,1 , 0,0 + t 0,0 , 0,1

F x , y , z , t = F x 1,1 , 0,0 + F z 0,0 , 1,0 + F y - x 0,1 , 0,0 + F t 0,0 , 0,1

F x , y , z , t = x F 1,1 , 0,0 + z F 0,0 , 1,0 + y - x F 0,1 , 0,0 + t F 0,0 , 0,1

Opa! E quem são essas quatro transformações ai? Lá do enunciado da questão nós já sabemos quem são duas delas. Como os vetores 1,1 , 0,0 e 0,0 , 1,0 fazem parte do núcleo, sabemos que a transformação destes vetores é igual a 0.

Desta forma, reescrevemos o nosso operador da seguinte forma:

F x , y , z , t = y - x F 0,1 , 0,0 + t F 0,0 , 0,1

O problema é quem são esses dois operadores. É nesse momento que fica ao gosto do freguês. Podemos escolher qualquer resultado para cada uma dessas duas transformações, desde que os resultados sejam LI entre si.

Os resultados tem que ser LI, pois, a dimensão da imagem é igual a 2 (verificado diretamente do teorema do núcleo e imagem). Então, vamos escolher F 0,1 , 0,0 = 0,1 , 0,0 e F 0,0 , 0,1 = 0,0 , 0,1 . Com isto, teremos:

F x , y , z , t = y - x 0,1 , 0,0 + t 0,0 , 0,1

F x , y , z , t = 0 , y - x , 0,0 + 0,0 , 0 , t

F x , y , z , t = 0 , y - x , 0 , t

E assim obtemos um operador linear que satisfaça as condições da questão.

OBS: ressaltando, se tivéssemos escolhido F 0,1 , 0,0 ≠ 0,1 , 0,0 ou F 0,0 , 0,1 ≠ 0,0 , 0,1 , obteríamos um operador linear diferente. O importante é que a imagem dos dois seja LI entre si!

Resposta

O operador com as condições adotadas foi:

F x , y , z , t = 0 , y - x , 0 , t

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