Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 9
Sejam e sub-espaços do espaço tais que . Consideremos o espaço vetorial cuja adição é e cuja multiplicação por escalares é dada por . Mostrar que é um isomorfismo de em a aplicação assim definida:
Passo 1
Vamos lá! A ideia do que temos que fazer é simples. Provar que é um isomorfismo consiste em checar o núcleo de e ver que ele tem dimensão zero.
Mas, como tudo na vida, temos algum problema. Neste caso, temos dois problemas: resolver a questão e entender que diabos o enunciado diz.
Eu diria que entender o enunciado consegue ser mais difícil ainda! Então, vamos começar por isto.
O nosso espaço é obtido pela soma direta de com (interseção de e é o conjunto vazio). Assim, seja um vetor de , ele será expresso por , sendo e .
E quando aplicamos a transformação a , obtemos:
Uma soma dos vetores e .
Passo 2
Agora, vamos verificar que é um automorfismo.
O núcleo de um operador é o conjunto de vetores tais que . Então, temos que descobrir qual o conjunto de vetores e tais que:
Muita calma nessa hora! Do jeito que a relação acima e como desenvolvemos no Passo 1, dá uma vontade de fazer a seguinte conta:
E assim veríamos que o núcleo não tem dimensão 0. Só que temos um pequeno probleminha com essas contas... Por definição, e . Os subespaços e são distintos (não tem interseção). Portanto, como teríamos ?
A única forma disto ocorrer é se (o que está correto, pois o vetor nulo pertence a todos os espaços vetoriais).
Assim, como , o núcleo de é composto apenas pelo vetor nulo. Assim, ele tem dimensão 0.
Como o núcleo tem dimensão 0, podemos afirmar que é uma transformação injetora. Consequentemente, é um automorfismo.
Concluímos então a questão com esta prova!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)