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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 21

Resolva o sistema linear [[2,x,+,2,y,+,4,z,=,0],[w,-,y,-,3,z,=,0],[[[2,w,+,3,x,+,y,+,z,=,0],[-,2,w,+,x,+,3,y,-,2,z,=,0]]]] por qualquer método.

Passo 1

Podemos resolver esse sistema pelo método da eliminação. Primeiramente, para facilitar, vamos abrir o sistema numa matriz aumentada:

([[[[0],[1],[[[2],[-,2]]]],[[2],[0],[[[3],[1]]]],[[[[2],[-,1],[[[1],[3]]]],[[4],[-,3],[[[1],[-,2]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]])

Passo 2

Para essas operações, utilizaremos o rótulo L para designar a linha e o operdor:

underset(L q u e s e r á a l t e r a d a -> O p e r a ç ã o)(->)

([[[[0],[1],[[[2],[-,2]]]],[[2],[0],[[[3],[1]]]],[[[[2],[-,1],[[[1],[3]]]],[[4],[-,3],[[[1],[-,2]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]) underset([[L 3 -> L 3 - 2 L 2],[L 4 -> L 4 + 2 L 2]])(->) ([[[[0],[1],[[[0],[0]]]],[[2],[0],[[[3],[1]]]],[[[[2],[-,1],[[[3],[1]]]],[[4],[-,3],[[[7],[-,8]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]])

Passo 3

([[[[0],[1],[[[0],[0]]]],[[2],[0],[[[3],[1]]]],[[[[2],[-,1],[[[3],[1]]]],[[4],[-,3],[[[7],[-,8]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]) underset([[L 3 -> L 3 + 3 L 4],[L 1 -> L 1 - 2 L 4]])(->) ([[[[0],[1],[[[0],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[1]]]],[[[[0],[-,1],[[[0],[1]]]],[[1],[-,3],[[[1],[-,8]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]])

([[[[0],[1],[[[0],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[1]]]],[[[[0],[-,1],[[[0],[1]]]],[[1],[-,3],[[[1],[-,8]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]) underset([[L 1 -> L 1 - L 3],[L 2 -> L 2 + 3 L 3],[L 4 -> L 4 + 8 L 3]])(->) ([[[[0],[1],[[[0],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[1]]]],[[[[0],[-,1],[[[0],[1]]]],[[0],[0],[[[1],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]])

Passo 4

Agora, vamos transformar a matriz ([[[[0],[1],[[[0],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[1]]]],[[[[0],[-,1],[[[0],[1]]]],[[0],[0],[[[1],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]) num sistema linear e resolvê-lo:

[[w,-,y,=,0],[x,+,y,=,0],[[[y,=,y],[z,=,0]]]]

Passo 5

Atribuindo o parâmetro y = t , substituímos nas equações e resolvemos o sistema:

[[w,=,y],[x,=,-,y],[[[y,=,y],[z,=,0]]]]

[[w,=,t],[x,=,-,t],[[[y,=,t],[z,=,0]]]]

Resposta

A solução do sistema é (w , x , y , z) = (t , - t , t , 0) .

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Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes de tamanhos A ( 3 ×1 ) B ( 3 ×6 ) C ( 6 ×2 ) D ( 2 ×6 ) E ( 1 ×3 ) Em cada parte, determine se a expressão matricial dada está definida em E A . Para as que e