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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 2

Calcular o cofator do elemento x da matriz

A = ([[[[[[0,1]],[[0,3]]]]],[[[[[1,2]],[[1,1]]]]],[[[[[2,1]],[[0,0]]]]],[[[[[3,x]],[[2,1]]]]]])

Passo 1

Suponha a matriz 3 xx 3 dado por

A = ([[a_11,a_12,a_13],[a_21,a_22,a_23],[a_31,a_32,a_33]])

Então teremos que os cofatores podem ser dados por

A_i j = (- 1)^(i + j) * d e t ( l i n h a s e c o l u n a s q u e s o b r a r a m )

Ahaha vamos entender melhor esse determinante. Tome por exemplo

A_22 = (- 1)^4 * det ([[a_11,a_13],[a_31,a_33]])

Ou seja, o determinante que resta é removendo a linha e a coluna na qual a_22 consta.

Passo 2

O elemento x se encontra na posição A_42 assim teremos que

A_42 = (- 1)^6 det ([[0,0,3],[1,1,1],[2,0,0]])

E ainda usando o médoto do coofator para calcular o determinante, temos que o determinante acima pode ser calculado fazendo

det ([[0,0,3],[1,1,1],[2,0,0]]) = (- 1)^(1 + 1) * 0 * det ([[1,1],[0,0]]) + (- 1)^(1 + 2) * 0 * det ([[1,1],[2,0]]) + (- 1)^(1 + 3) 3 * det ([[1,1],[2,0]])

Que somente o ultimo fator não é nulo, ou seja

det ([[0,0,3],[1,1,1],[2,0,0]]) = (- 1)^(1 + 3) 3 * det ([[1,1],[2,0]]) = 3 * (- 2) = - 6

Ou seja, o coofator do elemento x será

A_42 = (- 1)^6 det ([[0,0,3],[1,1,1],[2,0,0]]) = - 6

Resposta

- 6

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