Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 5
Sejam , e matrizes de ordem 2 e seja
De ordem 4. Provar que . Este resultado vale para .
Passo 1
Vamos a mais uma questão para provar! O bom destas questões é que nós já sabemos a resposta. Esta é a grande vantagem!
Mas... e como verificamos isto? Primeiro, vamos imaginar que:
O que fizemos foi algo puramente visual. Talvez isto quebre a barreira de termos “matrizes” dentro de “matrizes”, entendem? Assim, fica mais fácil aplicarmos a relação de cofatores. Portanto, considerando os elementos da coluna 1, temos:
Passo 2
Agora que aplicamos a relação dos cofatores, nosso trabalho é identificar quem são os números reais e .
Estes números serão o determinante da matriz de ordem obtida ao eliminarmos a linha e coluna , multiplicado pelo termo .
Agora, vamos analisar um caso particular, para o número . Se eliminarmos a linha 1 e coluna 1, teremos a “matriz” . Então, podemos escrever a seguinte relação:
Já identificamos um elemento da nossa relação. Se fizermos o mesmo procedimento para o elemento , temos:
Portanto, temos:
Passo 3
Para finalizarmos, basta identificarmos quem são os valores e . Eles são exatamente os determinantes dos elementos localizados nesta posição. Portanto,
Portanto, o determinante da matriz será:
E assim chegamos à relação que devíamos provar! Logo, finalizamos a nossa questão!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)