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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas Propostos - Ex. 5a

Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:

r :   x = 0 y = z       e           s :   y = 3 z = 2 x

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é transformar as equações de r e s em paramétricas, para deixar tudo em termos de t , vamos chamar x = t :

r :   x = 0 y = t z = t       e     s :   x = 1 t y = 3 + 0 t z = 2 t

Agora que tanto r quanto s estão trabalhando em termo de t , podemos determinar os vetores diretores v r → e v s → como o coeficiente dos termos que possuem t :

v r → = ( 0,1 , 1 )

v s → = 1,0 , 2

E os pontos P r e P s são os termos que não dependem de t :

P r = ( 0,0 , 0 )

P s = ( 0,3 , 0 )

O vetor dos pontos é dado por:

P r P s → = 0 - 0,3 - 0,0 - 0 = ( 0,3 , 0 )

Passo 2

A distância é dada por:

d = u → , v → , w → u → × v →

Para isso, precisamos calcular o produto vetorial misto de u → , v → , w → e o produto vetorial de u → × v → . Bora lá?

Quando falamos de u → , v → , w → queremos dizer v r → , v s → , P r P s → :

v r → , v s → , P r P s → = 0 1 1 1 0 2 0 3 0 = 3

Agora produto de v r → × v s → :

v r → × v s → = i → j → k → 0 1 1 1 0 2 = ( 2,1 , - 1 )

Passo 3

Assim, podemos determinar a distância com:

d = u → , v → , w → u → × v → = ( 3 ) ( 2,1 , - 1 ) = 3 2 2 2 + 1 2 + - 1 2 = 3 6    

d = 3 6

Resposta

d = 3 6

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