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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 4b

4. Calcular p r o j_g u nos seguintes casos:

  1. u = (1,2 , 1,4) e g = (4,0 , 0,1) ;
  2. u = (1,1 , 1,1) e g = (2,2 , 2,2) ;
  3. u = (4,3 , 5,2 , 5) e g = (1,1 , 1,1 , 1) .

Passo 1

b) Bem... essa questão é basicamente só aplicação de fórmula.

A fórmula da projeção:

p r o j_g u = (〈u , g〉)/(〈g , g〉) g

E os produtos internos:

〈u , g〉 = u_1 g_1 + u_2 g_2 + u_3 g_3 + u_4 g_4

〈g , g〉 = g_1^2 + g_2^2 + g_3^2 + g_4^2

Passo 2

Agora é só substituirmos os valores...

Fazendo os produtons internos primeiro:

〈u , g〉 = (1) (2) + (1) (2) + (1) (2) + (1) (2)

〈u , g〉 = 8

〈g , g〉 = (2)^2 + (2)^2 + (2)^2 + (2)^2

〈g , g〉 = 16

E a projeção de u e g fica:

p r o j_g u = (8)/(16) (2,2 , 2,2)

p r o j_g u = (1)/(2) (2,2 , 2,2)

p r o j_g u = (1,1 , 1,1)

p r o j_g u = u

Resposta

p r o j_g u = u

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Prove: se A tiver vetores coluna linearmente independentes e b for ortogonal ao espaço coluna de A , então a solução de mínimos quadrados de A x = b é x = 0 .
4. Em cada parte, encontre a solução de mínimos quadrados do sistema linear A x = b → .(a) A = 3 2 - 1 1 - 4 3 1 10 - 7 ;b → = 2 - 2 1 (b) A = 2 0 - 1 1 - 2 0 2 - 1 0 0 1 - 1 ; b → = 0 6 0 6
6. Em cada parte, encontre o vetor erro e → = b → - A x → que resulta da solução de mínimos quadrados x → e verifique que é ortogonal ao espaço coluna de A .(a) A e b → como no Exercício 4(a)(b) A e b
5. Em cada parte, encontre o vetor erro e → = b → - A x → que resulta da solução de mínimos quadrados x → e verifique que é ortogonal ao espaço coluna de A .(a) A e b → como no Exercício 3(a)(b) A e b
7. Em cada parte, encontre todas as soluções de mínimos quadrados de A x = b → e confirme que todas as soluções têm o mesmo vetor erro. Calcule o erro de mínimos quadrados.(a) A = 2 1 4 2 - 2 1 ; b →