Estude, segundo os valores de e , a posição relativa das retas e . Obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas.

Retas paralelas

Vamos ver quando as retas vão ser paralelas, isso vai acontecer quando seus vetores diretores forem múltiplos:

Igualando as coordenadas:

Da primeira e da terceira equações, temos , substituindo na segunda:

Então, quando , as retas serão paralelas.

Agora precisamos analisar os valores de para saber quando elas vão ser paralelas coincidentes ou distintas.

Paralelas coincidentes ou distintas?

As retas vão ser paralelas coincidentes quando o ponto de pertencer à reta :

Como sabemos que para as retas serem paralelas, temos que ter :

Igualando as coordenadas:

Da terceira equação, temos que , mas na primeira temos que .

Opa, como encontramos valores diferentes de , esse sistema não é possível e portanto, o ponto de nunca vai pertencer a , logo, as retas nunca vão ser paralelas coincidentes.

Para e qualquer valor de , as retas serão paralelas distintas.

Encontrando o plano

Vamos encontrar o plano formado pelas retas paralelas distintas, ou seja, quando e para qualquer valor de .

O vetor normal desse plano, vai ser o produto vetorial do vetor diretor das retas (que é o mesmo, já que são paralelas) e de um vetor que ligue dois pontos delas.

Seja o ponto de e de , temos , então o vetor normal do plano é

Então a equação do plano é escrita assim:

Para encontrarmos , vamos substituir o ponto na equação:

Então:

Retas reversas ou concorrentes?

Vimos que para as retas são paralelas, então, para , os seus vetores diretores serão LI e as retas serão reversas ou concorrentes ok?

Para saber se eles são reversas ou concorrentes, há infinitas possibilidades, dependendo do valor de e de :)