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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 2

Determine uma equação da superfície esférica que tem centro na reta x - 1 3 = y   +   2 - 1   =   z e que passa pelos pontos P =   ( 1 , - 1,2 ) e Q =   ( 0,0 , 2 ) .

Passo 1

Fala pessoal, vamos começar nessa questão ao definirmos que a nossa esfera possui um centro C =   ( a , b , c ) e ao usarmos a ideia de que a medida de distância entre um ponto qualquer X =   ( x , y , z ) , em sua superfície, e o centro da espera vai ser dado por:

d ( C , X )   2 =   ( x - a ) 2   +   ( y - b ) 2   + ( z - c ) 2 .

Então, podemos assumir que d ( C , P )   =   d ( C , Q ) , já que os dois pontos estão na superfície da esfera. Daí, substituindo os valores, vem que

( 1 - a ) 2   +   ( - 1 - b ) 2   + ( 2 - c ) 2   =   ( 0 - a ) 2   +   ( 0 - b ) 2   + ( 2 - c ) 2

⇒ 1 - 2 a + a 2 + 1 + 2 b + b 2 + 4 - 4 c + c 2 = a 2 + b 2 + 4 - 4 c + c 2

⇒ - 2 a + 2 b - 4 c + 4 c = 4 - 6

⇒ - 2 a + 2 b = - 2

⇒ a - b   =   1

Passo 2

Agora, vamos utilizar a informação de que a reta R   =   ( 3 λ + 1 , - λ - 2 , λ ) , em sua forma parametrizada, passa pelo centro da esfera. Daí, temos a seguinte relação:

( a , b , c )   =   ( 3 λ + 1 , - λ - 2 , λ )   ⇒   a   =   3 λ + 1 ;   b   = - λ - 2 ;   c   = λ    

Trazendo a equação do passo anterior e substituindo os valores acima vamos verificar qual o valor de λ . Então, observa bem:

3 λ + 1 - ( - λ - 2 )   = 1  

⇒ 3 λ + 1 + λ + 2 = 1

⇒ 4 λ   = - 2   ⇒ λ   = - 1 2

Precisamos substituir o valor de λ   = - 1 2 para acharmos quem é a , b e c . Logo,

a   =   3 λ + 1   =   3 ⋅ ( - 1 2 )   +   1   =   - 3 2   +   1   =   - 1 2   ⇒   a   =   - 1 2 ;

b   = - λ - 2   =   1 2   - 2   =   - 3 2   ⇒   b   =   - 3 2

c   = λ   = - 1 2

Portanto, o centro da esfera será no ponto C =   ( - 1 2 , - 3 2 , - 1 2 ) .

Passo 3

Para finalizar, precisamos da equação da superfície esférica. Sabemos que essa equação é dada por:

r 2   =   ( x - a ) 2   +   ( y - b ) 2   + ( z - c ) 2

e já conhecemos os valores de a , b e c . Então, está faltando a informação do raio que, por sua vez, poderá ser obtida da seguinte forma:

r 2   =   d ( C ,   Q ) 2   = ( 0 - a ) 2   +   ( 0 - b ) 2   + ( 2 - c ) 2   = a 2   +   b 2   +   ( 2 - c ) 2    

⇒ r 2   = a 2   +   b 2   +   ( 2 - c ) 2   =   1 4   +   9 4   + 25 4   = 35 4

⇒ r 2   =   35 4 ,

onde o ponto Q foi escolhido para facilitar as contas e substituímos os valores de a   =   - 1 2 , b   =   - 3 2 e c   =   - 1 2 .

Portanto, a superfície esférica será:

( x + 1 2 ) 2   +   ( y + 3 2 ) 2   + ( z + 1 2 ) 2   = 35 4 .

Resposta

( x + 1 2 ) 2   +   ( y + 3 2 ) 2   + ( z + 1 2 ) 2   =   35 4

Exercícios de Livros Relacionados

Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.(a) Lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que a soma dos quadrados de suas distâncias aos planos π 1 : x -
Obtenha equações da reta perpendicular ao plano π = 10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0 , que contém um diâmetro da superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + z - 11 = 0 .
Determine o diâmetro da superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 y = 0 que é perpendicular ao plano π : x - y - 2 = 0 .
Obtenha uma equação da superfície esférica, conhecendo as extremidades de um diâmetro: A = 2 , - 3 , - 5 e B = 4,1 , - 3 .
Sejam A = x 1 , y 1 , z 1 e B = x 2 , y 2 , z 2 as extremidades de um diâmetro da superfície esférica S e P um ponto distinto de A e B . Prove que:(a) x - x 1 x - x 2 + y - y 1 y - y 2 + z - z 1 z - z