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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 3

Qual é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de A = ( 1 ,   0 ,   0 ) e B = ( - 1 ,   1 ,   0 ) e também de C = ( 0 ,   2 ,   0 ) e D = ( 0 ,   0 ,   0 ) ? Descreva-o por meio de equações.

Passo 1

Vamos considerar um ponto genérico P = ( x ,   y ,   z ) . Esse ponto deve ter a mesma distância até A e até B , mas ao mesmo tempo, ele deve ter a mesma distância até C e até D . Bom, aqui vamos usar fórmula de distância entre pontos.

Como P deve ter a mesma distância até A e até B , então:

d P ,   A = d ( P ,   B )

x - 1 2 + y - 0 2 + z - 0 2 = x - ( - 1 ) 2 + y - 1 2 + z - 0 2

x - 1 2 + y 2 + z 2 = x + 1 2 + y - 1 2 + z 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

x - 1 2 + y 2 + z 2 = x + 1 2 + y - 1 2 + z ²

Desenvolvendo os produtos notáveis:

x 2 - 2 x + 1 + y 2 + z 2 = x 2 + 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 + z ²

Cortando os termos em comum dos dois lados, ficamos com

- 2 x = 2 x - 2 y + 1

4 x - 2 y + 1 = 0     ( I )

Beleza, chegamos na primeira equação, agora vamos usar a condição de que P é equidistante a C e a D .

Passo 2

Como P deve ter a mesma distância até C e até D , então:

d P ,   C = d ( P ,   D )

x 2 + y - 2 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

x 2 + y - 2 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z ²

Desenvolvendo o produto notável:

x 2 + y 2 - 4 y + 4 + z 2 = x 2 + y 2 + z ²

Cortando os termos em comum dos dois lados, ficamos com

- 4 y + 4 = 0

y = 1     ( I I )

Passo 3

Substituindo ( I I ) em ( I ) , temos

4 x - 2 + 1 = 0

x = 1 4

Então, sabendo que x = 1 4 e y = 1 , nosso lugar geométrico tem o formato

x ,   y ,   z = 1 4 ,   1 ,   z

x ,   y ,   z = 1 4 ,   1 ,   0 + 0 ,   0 ,   z

Substituindo z pelo parâmetro t e colocando em evidência, encontramos nosso lugar geométrico:

x ,   y ,   z = 1 4 ,   1 ,   0 + t 0 ,   0 ,   1

Que é uma reta :)

Resposta

x ,   y ,   z = 1 4 ,   1 ,   0 + t 0 ,   0 ,   1

É uma reta.

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