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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 21.Exercício - Ex. 3

Sejam Σ 1 = ( O 1 ,   e 1 → ,   e 2 → ,   e 3 → ) e Σ 2 = ( O 2 ,   f 1 → ,   f 2 → ,   f 3 → ) sistemas de coordenadas tais que

O 2 = 1 ,   1 ,   1 Σ 1                 f 1 → = e 1 → + e 2 →                   f 2 → = e 2 →               f 3 → = e 2 → + e 3 →    

Obtenha, em relação a Σ 2 ,

a) equações de r : X = 0 ,   0 ,   0 + λ 0 ,   1 ,   1 Σ 1

b) uma equação geral de π : 2 x - y + z = 0 Σ 1

Passo 1

Primeiro vamos escrever as equações de mudança de coordenadas ok?

Pelas informações do exercício, temos que os vetores na base Σ 1 são

f 1 → = 1 e 1 → + 1 e 2 → + 0 e 3 → = ( 1 ,   1 ,   0 )

f 2 → = 0 e 1 → + 1 e 2 → + 0 e 3 → = ( 0 ,   1 ,   0 )

f 3 → = 0 e 1 → + 1 e 2 → + 1 e 3 → = ( 0 ,   1 ,   1 )

Sabendo que O 2 = 1 ,   1 ,   1 Σ 1 , temos

x = 1 + 1 u + 0 v + 0 w y = 1 + 1 u + 1 v + 1 w z = 1 + 0 u + 0 v + 1 w   ( I I )

Resolvendo esse sistema para u ,   v ,   w temos as equações de mudança de coordenadas:

u = x - 1 v = y - x - z + 1 w = z - 1   ( I )

Passo 2

a) Da equação de r , temos que

X = ( 0 ,   λ ,   λ )

x = 0

y = λ

z = λ

Substituindo no sistema ( I ) :

u = 0 - 1 = - 1 v = λ - 0 - λ + 1 = 1 w = λ - 1

Então a reta nas novas coordenadas é

u ,   v ,   w = ( - 1 ,   1 ,   λ - 1 )

r :   X = - 1 ,   1 ,   - 1 + λ . 0 ,   0 ,   1 Σ 2

Passo 3

b) Temos π : 2 x - y + z = 0 Σ 1 , e lá do passo 1 temos que

x = 1 + u y = 1 + u + v + w z = 1 + w

Substituindo isso na equação do plano:

π : 2 1 + u - 1 - u - v - w + 1 + w = 0

π : u - v + 2 = 0 Σ 2

Resposta

a) r :   X = - 1 ,   1 ,   - 1 + λ . 0 ,   0 ,   1 Σ 2

b) π : u - v + 2 = 0 Σ 2

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