a) Obtenha equações gerais dos dois planos bissetores dos diedros determinados pelos planos e .

b) Confira o resultado obtido no item (a), mostrando que cada um dos planos encontrados contém a reta e forma ângulos congruentes com e .

c) Verifique que os planos bissetores são perpendiculares.

Queremos:

Sabendo que e , , temos

Multiplicando em cruz:

Daí temos dois lugares geométricos, pois estamos lidando com módulos hehe

Vamos calcular primeiro para tudo sem sinal negativo:

Agora com sinal negativo:

Ebaaa, encontramos nossos planos bissetores dos diedros: e .

Na figura abaixo, em azul temos os planos e e em vermelho temos e :

b) Primeiro vamos encontrar a reta , ela é a intersecção de com , então:

Da segunda equação, temos

Substituindo na primeira:

Então nossa reta tem o formato:

Agora vamos provar que a reta

está contida tanto no plano como no plano , pois isso é uma das condições para eles serem planos bissetores hahaha

Vamos começar por : primeiramente, o seu vetor normal deve ser perpendicular ao vetor diretor , porque a reta deve ser antes de tudo paralela ao plano, que é perpendicular ao vetor normal, sacou? Hahaha ou seja, vamos ver se o produto escalar entre eles realmente vale 0, já que isso é uma condição para dois vetores serem perpendiculares:

Boaa, já temos que a reta é paralela ao vetor, agora é só substituir um ponto da reta na equação do plano pra ver se ela está contida nele. Substituindo o ponto :

Ebaaa, se um ponto da reta está no plano e ela é paralela a esse plano, então todos os seus pontos estarão contidos nele, ou seeeja: a reta está contida em !!

Também vamos provar que a reta está contida no plano , nosso outro plano bissetor.

Vamos fazer igual fizemos para : primeiro vamos verificar se (vetor normal de ) é perpendicular a :

Belezinha, então a reta também é paralela ao plano .

Agora vamos substituir seu ponto nesse plano pra provar que além de ser paralela a , ela está contida nele:

Ihuuu, então provamos que a reta está contida nos planos e :)

Hora de provar que os planos e formam os mesmos ângulos com e .

Temos os vetores normais:

Vamos provar que tanto quanto formam os mesmos ângulos com e

Primeiro para : seja o ângulo entre e :

Agora seja o ângulo entre e :

Portantoo, como os módulos dos cossenos de e são iguais, forma o mesmo ângulo com e !!

Agora para : seja o ângulo entre e :

Agora seja o ângulo entre e :

Portantoo, como os módulos dos cossenos de e são iguais, forma o mesmo ângulo com e !!

Por fimmm, provamos que os planos e são realmente planos bissetores dos diedros de e :D

c) Agora basta provarmos que e são perpendiculares verificando se o produto escalar entre eles é 0:

Então, os planos e são perpendiculares mesmo hahaha