Enunciado

Calcule a excentricidade de uma elipse, sabendo que as extremidades das cordas que contêm algum foco e são perpendiculares ao eixo maior são vértices de um quadrado inscrito na elipse.

Passo 1

Suponha que temos a elipse x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 .

Temos o seguinte esquema:

Seja B = c ,   y B um ponto da elipse. Logo:

c 2 a 2 + y B 2 b 2 = 1 ∴ y B 2 b 2 = 1 - e 2 ⟹ y B = b 1 - e 2

Passo 2

Mas A B C D é um quadrado. Assim, temos que O F 2 - = F 2 B - :

c = b 1 - e 2 ⟹ c 2 = b 2 1 - e 2 ∴ c 2 = a 2 - c 2 1 - e 2

c 2 a 2 = 1 - c 2 a 2 1 - e 2 ∴ e 2 = 1 - e 2 2 ⟹ e = 1 - e 2 ∴ e 2 + e - 1 = 0

Passo 3

Assim, para descobrirmos o valor de e , basta resolver a equação do 2° grau:

e 2 + e - 1 = 0 ⟹ e = - 1 ± 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 1 2 ⟹ e = - 1 ± 5 2

Como e > 0 , devemos aceitar apenas a raiz positiva:

e = 5 - 1 2

Resposta

O valor da excentricidade é e = ( 5 - 1 ) / 2 .

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