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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 141

Resolva o Exercício 22-139 substituindo a elipse pela hipérbole H : x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 .

Passo 1

Assim como no exercício 22-139, vamos começar mostrando que

X F 1 → ⋅ X F 2 → = e 2 x 2 + a 2 1 - 2 e 2

Para tanto, sejam F 1 = - c ,   0 , F 2 = c ,   0 e X = x ,   y um ponto qualquer da hipérbole. Assim,

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ∴ y 2 = b 2 a 2 x 2 - b 2

Portanto,

X F 1 → = F 1 - X = - c , 0 - x , y = - c - x , - y

X F 2 → = F 2 - X = c , 0 - x , y = c - x ,   - y

∴ X F 1 → ⋅ X F 2 → = - c 2 - x 2 + y 2 = x 2 + y 2 - c 2

X F 1 → ⋅ X F 2 → = x 2 + b 2 a 2 x 2 - b 2 - c 2

Agora, lembre-se que para a hipérbole, c 2 = a 2 + b 2 :

X F 1 → ⋅ X F 2 → = x 2 a 2 + b 2 a 2 - 2 c 2 - a 2 = x 2 c 2 a 2 + a 2 1 - 2 c 2 a 2  

X F 1 → ⋅ X F 2 → = x 2 e 2 + a 2 1 - 2 e 2

Passo 2

Para uma hipérbole, e > 1 . Logo, 1 - 2 e 2 < 0 , de modo que a equação X F 1 → ⋅ X F 2 → = 0 sempre possui raiz real. Seja x 1 e - x 1 tais raízes:

x 1 = a e 2 e 2 - 1

A seguir, vamos mostrar que x 1 > a :

a e 2 e 2 - 1 > a ∴ 2 e 2 - 1 > e ∴ 2 e 2 - 1 > e 2 ⟹ e 2 > 1 ∴ e > 1

o que é verdadeiro! Portanto, x 1 > a . Lembre-se ainda que, para uma hipérbole, x ≥ a . Assim, vamos analisar o sinal da função

f x = x 2 e 2 + a 2 1 - 2 e 2

Passo 3

Para analisarmos o sinal de f x , vamos montar seu gráfico. Note que f é uma função do 2° grau, de modo que seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima! Assim, temos que

  1. f x > 0 ⟹ x > x 1 ou x < - x 1 .
  2. f x < 0 ⟹ - x 1 < x ≤ - a ou a ≤ x < x 1 .

Resposta

  1. Ângulo reto: quando x = x 1 ou x = - x 1 ;
  2. Ângulo agudo: quando x > x 1 ou x < - x 1 ;
  3. Ângulo obtuso: quando - x 1 < x ≤ - a ou a ≤ x < x 1 .
Ver Outros Exercícios desse livro

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